Σμ（ｄ）・1/ｄ＝１−Σ１/ｐi＋Σ１/ｐiｐj-・・・＝Π（１−1//ｐi）より、

　　φ（ｎ）/ｎ＝Π（１−1/ｐi）

　　φ（ｎ）＝ｎΠ（１−1/ｐi）＝ｎ−Σｎ/ｐi＋Σｎ/ｐiｐj-・・・

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ディリクレ級数

Ｆ（ｓ）＝Σｆ（ｎ）/ｎ^s)

に対して、ｆ（ｎ）が乗法的であれば

Ｆ（ｓ）＝Π（１＋ｆ（ｐ）/ｐ^s＋ｆ（ｐ^2）/ｐ^2s＋・・・）＝Π（１-ｆ（ｐ）/ｐ^s）^(-1)

k＞1のときμ(p^k)=0であるから

１-１/ｐ^s＝１＋μ（ｐ）/ｐ^s＋μ（ｐ^2）/ｐ^2s＋・・・

１/ζ(s)=Π（１-１/ｐ^s）＝Π（１＋μ（ｐ）/ｐ^s＋μ（ｐ^2）/ｐ^2s＋・・・）＝Σμ（ｎ）/ｎ^s

となる。

ｓ＝２のとき、Σμ（ｎ）/ｎ^2＝１/ζ(2)=6/π^2

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複素解析の分野で有名な関数

　　１/ζ(s)＝Σμ（ｎ）/ｎ^s

が得られた。同様に

Σφ（ｎ）/ｎ^s＝ζ(s-1)/ζ(s)

が得られる。

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最後に、同様にして導出されたディリクレ級数の結果をいくつか引用しておきたい。

Σ｜μ（ｎ）｜/ｎ^s＝ζ(s)/ζ(２s)

Σｄ（ｎ）/ｎ^s＝ζ^2(s)

Σln（ｎ）/ｎ^s＝-ζ'(s)

Σ(ln（ｎ）)^2/ｎ^s＝ζ''(s)

ΣΛ（ｎ）/ｎ^s＝-ζ'(s)/ζ(s)

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