約数の和関数をσ(n)、オイラーのトーシェント関数をφ(n)とするとき、

ζ(s)ζ(s-1)=Σσ(n)/n^s

ζ(s-1)/ζ(s)=Σφ(n)/n^s

が成り立つ。

また、約数の和関数σ(n)について

σ(n)＜exp(γ)nlnlnnがn＞5040のすべてのｎについて成り立つこととリーマン予想が真であることは同値である。

これらのことから、σ(n)、φ(n)のおおまかな上界と下界を求めることは意味があることであると考えられる。

オイラーのトーシェント関数φ(n)はかなり変動する関数である。

φ(29)=28,φ(30)=8,φ(31)=30,φ(32)16

φ(ｍ)/ｍの平均値は6/π^2に近づく。

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[1]任意のｍに対してφ(ｐ^m-1)はｍで割り切れる。

トーシェント関数の奇妙だが重要な性質である。

[2]どのｎに対してもφ(n)=14,26,34,・・・にはなりえない。

ことしはこれらを示すことができたので、満足。

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