約数の和関数をσ(n)、オイラーのトーシェント関数をφ(n)とするとき、

ζ(s)ζ(s-1)=Σσ(n)/n^s

ζ(s-1)/ζ(s)=Σφ(n)/n^s

が成り立つ。

また、約数の和関数σ(n)について

σ(n)＜exp(γ)nlnlnnがn＞5040のすべてのｎについて成り立つこととリーマン予想が真であることは同値である。

これらのことから、σ(n)、φ(n)のおおまかな上界と下界を求めることは意味があることであると考えられる。

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［１］コッホの同値条件（１９０１年）

　リーマン予想＝「ｎとｎ＋ｋ√ｎの間に素数はある」ですが，

　　π（ｘ）＝Ｌｉ（ｘ）＋Ｏ（ｘ^1/2ｌｏｇｘ）

　　｜π（ｘ）−Ｌｉ（ｘ）｜≦Ｃ・ｘ^1/2ｌｏｇｘ

　　Ｌｉ（ｘ）＝∫(2,x)ｄｔ／ｌｏｇｔ

　もう少し精緻化すると，２６５７以上のすべてのｘについて，

　　｜π（ｘ）−Ｌｉ（ｘ）｜≦Ｃ・ｘ^1/2ｌｏｇｘ

　　Ｃ＝１／８π

が成り立つことと論理的に同等です．

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［２］ラガリアスの同値条件（２００２年）

　ｎの約数の和をσ（ｎ）で表すと，リーマン予想は

　　σ（ｎ）≦Ｈn＋ｌｏｇＨnｅｘｐＨn

がｎ≧１に対して成立すると等価です．

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［３］ロバンの同値条件（１９８４年）

　オイラーの定数γを用いると，リーマン予想は

　　σ（ｎ）＜ｅｘｐγｎｌｏｇｌｏｇｎ

がｎ＞５０４０に対して成立すると等価です．

　［２］［３］は初等的な条件になっていて，さらに

　　Am=B(m+1)Hm/(m+1)-ζ’(-m)

にも調和級数のｎ次部分和

　　Ｈn ＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

が関わっているのを見ると，リーマン予想との関係が想起されます．

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　素数定理より，素数ｐとその次の素数との間隔は，平均してｌｏｇｐですが，リーマン予想が真であれば，素数ｐとその次の素数との間隔は，ある定数Ｃを用いて

　　Ｃ√ｐ・ｌｏｇｐ

以下であることが，１９３６年，クラメールにより証明されています．

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