【１】ガウスの円問題

　原点を中心とした半径√ｎの円の内部（境界を含む）にある整数点の個数をＲ（ｎ）で表す．

　ｄ（ｎ）＝πｎ-Ｒ（ｎ）＝Ｏ（ｎ^θ）

のおよその大きさを知りたい。

　1/4≦θ≦12/37

　１９６３年に陳景潤はθ≦12／３７を，１９９０年にハクスリーはθ≦23／７３を得たが，シェルピンスキーの成果θ≦１／３からほんのわずかしか進んでいない．

　下の値θ＝１／４が1915年にハーディとランダウが与えた。θ＝１／４と予想されている．

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x^2+y^2≦nを満たすような格子点の個数R(n)を求めるよいう古典的な問題に対して、ハーディとランダウはベッセル関数を用いた特殊で難解な方法により

R(n)=πn+Ω(n^1/4(logn)^1/4)

を与えたのである

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【２】エルデシュ・フックスの定理（1956年）

正数列a1,a2,・・・が0≦a1≦a2≦・・・を満たすとする。r(n)をai+aj≦nの解の個数とする。このとき、ｃ＞0に対し、

r(n)=cn+o(n^1/4(logn)^1/2)

が成立することはあり得ない

この定理においてak=k^2とした場合、ガウスの円問題と密接に関係しているが、エルデシュ・フックスの方法はハーディとランダウの方法に比べ、きわめて一般的かつ簡潔でありながら得られる結果はほんのわずかだけ弱くなるのみである。

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