【１】ガウスの円問題

　原点を中心とした半径√ｎの円の内部（境界を含む）にある整数点の個数をＲ（ｎ）で表す．

　ｄ（ｎ）＝πｎ-Ｒ（ｎ）＝Ｏ（ｎ^θ）

のおよその大きさを知りたい。

　1/4≦θ≦12/37

　１９６３年に陳景潤はθ≦12／３７を，１９９０年にハクスリーはθ≦23／７３を得たが，シェルピンスキーの成果θ≦１／３からほんのわずかしか進んでいない．

　下の値θ＝１／４が1915年にハーディとランダウが与えた。θ＝１／４と予想されている．

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x^2+y^2≦nを満たすような格子点の個数R(n)を求めるよいう古典的な問題に対して、ハーディとランダウはベッセル関数を用いた特殊で難解な方法により

R(n)=πn+Ω(n^1/4(logn)^1/4)

を与えたのである

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