ファン・デル・ヴェルデンの定理(1929年)

自然数を２組（有限個の組）に分けたとき、少なくとも１組は任意に長い等差数列を含む

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

エルデシュ・テュラン予想(1936年)

集合A⊂Zはいくらでも長い等差数列を含む

ロスの定理

集合A⊂Zは３項の等差数列x+y=2zを無限個含む

セメレディの定理(1974年)

4項の等差数列まで拡張し、ついに一般の主張にまで拡張した（エルデシュ・テュラン問題の解決）

組み合わせ論に基礎を置いた証明で、ファン・デル・ヴェルデンの定理を用いている

フルステンベルクの証明(1977年)

エルゴート理論に基礎を置いた証明はさらにいくつかの拡張をもたらした

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ファン・デル・ヴェルデンの定理の有限版が、

任意の整数k,lに対して、N(k,l)が存在し、N＞N(k,l)かつ{1,2,・・・,N}がｌこの色に塗り分けられていたら、必ず単一色のk項の等差数列が存在する

ファン・デル・ヴェルデンの証明が与えるN(k,l)の上界は非常に大きい

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝