【１】楕円曲線とフェルマー予想

　フェルマーの最終定理『ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^nでｎ≧３のとき，ｘ，ｙ，ｚは正の整数解をもたない．』を解くことは，２変数ｎ次多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^n＋ｙ^n−１＝０に，有理数解があるか，すなわち有理点をもつかどうかを考える問題に対応します．

　モーデル・ファルティングスの定理によってフェルマーの方程式に解があるとすれば高々有限個しか解がないことはわかりましが，１つもないかどうかはわかりません．しかしながら，モーデル・ファルティングスの定理より，有理点が無数にあるような曲線は種数が０か１ということになり，直線（種数０）か，円錐曲線（種数０）か，楕円曲線（種数１）に限られてきます．

　また，リーマン・フルヴィッツの公式より，フェルマー曲線ｘ^n＋ｙ^n＝１は種数が（ｎ−１）（ｎ−２）／２で，これはｎ＝３のとき１ですが，ｎ≧４のときは２以上となりますから，そこでフェルマーの予想を征するために必要となるのが楕円曲線であったというわけです．

　こうして，１９７０年代，フェルマーの問題を征するために必要となるのが楕円曲線であることが明らかになりました．楕円曲線には，楕円曲線と三点で交わる直線で，そのうちの二つの交点の座標がわかれば他の一点の座標も計算でき，二つの点の座標が有理数ならば，他の一点の座標も有理数であるなどの性質をもっています．

　さらに，フライとリベットによって，楕円曲線はフェルマー問題の定性的な一般化であり，フェルマー予想に反例が存在したときに生ずる楕円曲線は特異な性質をもつことになり，そのような曲線は絶対に正しいと信じられている谷山・志村予想の反例になりますから存在し得ないように思われたのです．

　フライとリベットがフェルマー（フェルマー曲線）と谷山（楕円曲線）を結んだことになりますが，それが証明されればフェルマーの定理は正しくなくてはならないということになります．

　ａ^p＋ｂ^p＝ｃ^pを満たすような楕円曲線：

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ＋ａ^p）（ｘ−ｂ^p）

が保型関数によってパラメトライズできないことの証明がフェルマーの最終定理の証明に繋がるのですが，フライはこの課題に取り組んだのですが，成功しませんでした．

　ワイルズはフェルマーの定理の証明が一筋縄ではいかないことを実感して一時棚上げにしていたのですが，フライとリベットの結果にフェルマー攻略への道を確信し，研究室に７年間もこもって，彼独自のアイデアをもってとうとう証明に成功しました．これ以上はかなりこみいった話になるので追求しないでおきますが，楕円曲線の有理点の有無ではなく，楕円曲線そのものが存在しないことを示すのです．

　この間の苦節７年には大いなる勇気，確固たる意志，強靭な忍耐力，広範な知識，ずば抜けた戦略，そして幸運を必要としたことは間違いありません．

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【２】楕円曲線とａｂｃ予想

　ｍの素因数分解を

　　ｍ＝Πｐi^mi

とすると，多項式の次数ｄｅｇに相当するものは

　　ｌｏｇｍ＝Σｍiｌｏｇｐi

互いに異なる根の数に相当するものは

　　Ｒ＝Σｌｏｇｐi

と定義するのだが，互いに素な整数でａ＋ｂ＝ｃを満たすものすべてについて，不等式

　　ｍａｘ（｜ａ｜，｜ｂ｜，｜ｃ｜）≦Ｒ（ａｂｃ）

は一般に成り立たない．

　また，

　　ｍａｘ（｜ａ｜，｜ｂ｜，｜ｃ｜）≦Ｋ・Ｒ（ａｂｃ）

が成り立つような定数Ｋも存在しないのだが，不等式を弱いものにした

　　ｍａｘ（｜ａ｜，｜ｂ｜，｜ｃ｜）≦Ｋ・Ｒ（ａｂｃ）^(1+ε)

が成り立つと予想されている（ａｂｃ予想，１９８６年）．

　１９８５年頃，フェルマー予想を谷山予想に帰着させたのはフライだあるが，フェルマー予想をａｂｃ予想に帰着させたのはエステルレとマッサーだった．

　フェルマー予想での考え方はａｂｃ予想の場合にも有効で，フライの考え方をまねて，ａ＋ｂ＝ｃを満たすような楕円曲線：

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ＋ａ）（ｘ−ｂ）

はそれほど多くないということを主張するのである．

　そして，２０１２年８月，望月新一先生（京都大学）がａｂｃ予想の証明をしたとのニュースが流れた．ａｂｃ予想とは方程式ａ＋ｂ＝ｃをみたす互いに素な自然数ａ，ｂ，ｃについて，ｃを積ａｂｃの素因子成分によって上から抑えるという不等式予想である．これが成立するとフェルマー・ワイルズの定理やモーデル・ファルティングスの定理の簡単に証明（別証）することができるという．

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