−１≦（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−．５９９ 下界はミンコフスキーによるものであり、ある種の格子を用いた詰め込みにわたる平均をとることにより証明された（実際R^n内のランダム格子の格子点を詰め込む球の中心として用いることにより、この密度を得る

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【２】（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎの下界と上界

　ミンコフスキーは，数の幾何学の理論を利用して，

　　Δ≧ζ(n)／２^(n-1)

を得た．ここで，ｎ→∞とするとき，リーマンのゼータ関数

　　ζ(n)＝Σ1/k^n→１

であるから，

　　ｌｏｇ2Δ≧−ｎ＋１

したがって

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≧−１

となる．

　一方，上界は単体的密度限界ｄnで粗雑ながら押さえられる．

　　Δ≦ｄn≦１

すべてのｎに対して，

　　（−ｎ≦）ｌｏｇ2Δ≦−ｎ／２＋ｌｏｇ2（ｎ／２＋１）

が成り立ち，ｎ→∞のとき，

　　ｄn　〜　（ｎ／ｅ）２^(-n/2)

であるから，これで，ｎ→∞のとき，

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−０．５

が得られる．

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−０．５９９

はそれを精緻化したものである．詳細は種本に譲ることにするが，格子状，非格子状の最密充填配置における

　　−１≦（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−０．５９９

という結果は，次元がひとつ増すごとに充填密度Δ（ｎ）がおよそ１／２〜１／１．５１になるという計算が成り立つことを示している．

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