ケプラー予想は，１９９４年に解決されたフェルマーの最終定理に取って代わる数学上の未解決問題になっていたわけですが，１９９８年にトマス・ヘールによってとうとう

　　「キャノンボール・パッキングよりも密度の高い３次元パッキングは存在しない」

ことが証明されました．ケプラー予想から４００年近く経って，やっと定理に昇格したのです．

　今回のコラムでは，半径の等しい球をｎ次元ユークリッド空間Ｒ^nに効率的に詰め込む問題（ヒルベルトの第１８問題）の漸近挙動について触れてみることにしたいと思います．

　以下，半径が一定で互いに交わらない球の充填密度をΔ（ｎ）と書くことにしますが，Δ（ｎ）のｎ→∞における漸近挙動については，現在のところ，

　　−１≦（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−．５９９ であることが知られていて，

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ　→　−１　　　（ｎ→∞）

が成り立つかどうかが問題になっているとのことです．

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ランダム配置の平均格子点間距離と平均充填密度を求めてみよう．コラム「ポアソン配置とワイブル分布（雑然か整然か）」は，配置が完全に規則的である結晶と，もう一方の極みにあるランダムな配置を扱ったものであるが，平面上または空間中に無作為に配置（ポアソン配置）した点の集団があるとして，ある点からその最も近い点（最近接点：nearest neighbor）に至るまでの距離ｒの分布を考える．

　詳細についてはコラムを参照していただきたいのだが，距離ｒの分布はｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積を

　　ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

とすると，

　　ｐ（ｒ）＝ｎｖnｒ^(n-1)exp(-ｖnｒ^n)

　ここで，β^n＝1/ｖnとおけば

　　ｐ（ｒ）＝ｎ／β（ｒ/β）^(n-1)exp（-(ｒ／β)^n）

すなわち，形状母数ｎ，尺度母数１／n√ｖnのワイブル分布が得られる．

　したがって，ランダム配置の平均距離ｒmは

　　∫(0,∞)ｒｐ（ｒ）ｄｒ

より

　　ｒm＝Γ（１＋１／ｎ）／n√ｖn

で与えられる．

　また，平均球充填密度Δ（ｎ）は，半径ｒ／２の超球の体積が

　　ｖn（ｒ／２）^n

となることより

　　∫(0,∞)ｖn（ｒ／２）^nｐ（ｒ）ｄｒ

　＝ｖn／２^n∫(0,∞)ｒ^nｐ（ｒ）ｄｒ

　＝Γ（２）／２^n

　＝１／２^n

として求められる．

　すなわち，ｎの値に関わらず，

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ＝−１

が成り立つことがわかる．

ｎ　　　格子点間距離　　球充填密度　　　　ｌｏｇ2Δ（ｎ）／ｎ

１　　　０．５　　　　　０．５　　　　　　−１

２　　　０．５　　　　　０．２５　　　　　−１

３　　　０．５５４０　　０．１２５　　　　−１

４　　　０．６０８１　　０．０６３　　　　−１

５　　　０．６５８７　　０．０３１　　　　−１

６　　　０．７０５６　　０．０１６　　　　−１

７　　　０．７４９３　　０．００８　　　　−１

８　　　０．７９０５　　０．００４　　　　−１

９　　　０．８２９４　　０．００２　　　　−１

10　　　０．８６６３　　０．００１　　　　−１

　なお，コラム「ポアソン配置とワイブル分布（雑然か整然か）」から得た教訓は「結晶と完全にランダムな点の配置は対極的ではあるが，どちらも数学的な扱いが容易な構造である．」ということであった．数学的にみると完全な「ランダムネス」は意外に扱いやすいのである．

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【１】（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎの下界

　ランダム格子の場合，（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎの値は−１となることがわかった．この値は，ミンコフスキーによって得られた下界

　　−１≦（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ

に等しい．

　既にお気づきのように，同じ大きさの球ではないし，互いに交わらないという条件にも抵触しているが，Δ（ｎ）の近似値を，平均半径を有する球による空間充填密度

　　Δ（ｎ）＝ｖn（ｒm／２）^n＝｛Γ（１＋１／ｎ）／２｝^n

として計算すると，ｎ→∞のとき，下側から

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ　→　−１

に収束することとも一致している．

　ここで，次の表にはランダム配置と極大配置の格子点間距離を並べて掲げる．

　ｎ　　ランダム配置の平均距離　　　極大配置の格子点間距離

　１　　０．５　　　　　　　　　　　　１　　　　　　

　２　　０．５　　　　　　　　　　　　１．０７５　　

　３　　０．５５４０　　　　　　　　　１．１２２　　

　４　　０．６０８１　　　　　　　　　１．１８９　　

　５　　０．６５８７　　　　　　　　　１．２３１　　

　６　　０．７０５６　　　　　　　　　１．２９０　　

　７　　０．７４９３　　　　　　　　　１．３４６　　

　８　　０．７９０５　　　　　　　　　１．４１４　　

　９　　０．８２９４　　　　　　　　　　　−　　　　

　10　　０．８６６３　　　　　　　　　　　−　　　　

　ランダム配置の平均距離は，極大配置の格子点間距離の半分よりは大きい．逆にいうと，極大配置距離はランダム配置の平均距離の２倍よりも小さいという傾向が窺えるが，この傾向は９次元以上でも続くのであろうか？

　もし，極大格子の格子点間距離が，ランダム格子の平均格子点間距離の２倍に等しいならば，

　　Δ（ｎ）＝ｖn（２ｒm／２）^n＝｛Γ（１＋１／ｎ）｝^n

となり，球充填密度は１を超えてしまう．したがって，９次元以上でも極大配置距離はランダム配置の平均距離の２倍よりも小さいことは確かである．

　それでは，ｃ＜２なる定数が存在すると仮定すると，

　　Δ（ｎ）＝ｖn（ｃｒm／２）^n＝｛ｃΓ（１＋１／ｎ）／２｝^n

より，

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ＝ｌｏｇ2Γ（１＋１／ｎ）＋ｌｏｇ2ｃ−１

であるから，ｎ→∞のとき，

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ　→　ｌｏｇ2ｃ−１

となる．

　すなわち，本コラムの枕である命題

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ　→　−１　　　（ｎ→∞）

は定数ｃ＝１となることを主張するものであり，無限次元においては効率的格子≒ランダム格子とみなせるというものである．

　一方，（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎの上界≦−．５９９については，どのようにして得られたものなのか見当がつかない．おそらく組合せ論的に求められたものと思われるが，もう一度調べ直してみて，後日報告したいと考えている．

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