【１】アーベル変形

アーベル変形とは

Σanbn=a1b1+a2b2+・・・+anbn

をSn=a1+a2+・・・+anと置くことで、

Σanbn=S1b1+(S2-S1)b2+・・・+(Sn-Sn-1)bn=Snbn+ΣSn(bn-bn+1)

と変形する方法である。

例：f(r)=Σ(-r)^n/nは

f(r)=Σ{-1/1+1-2-・・・+(-1)^n/n)(r^n-r^(n+1)}

とアーベル変形できて、r→1で、f(1)→-log2に収束することがわかる

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【２】シンク関数の積分

シンク積分∫(0,∞)sinx/xdxは

部分積分∫(0,R)sinx/xdx=[(1-cosx)/x]+∫(0,R)(1-cosx)/x^2dxと

∫(0,R)(1-cosx)/x^2dx≦∫(0,R)2(min(1/2x,1/2))^2dx≦10より

収束することがわかる。

f(x)=∫(0,x)sint/tdtとおくと

∫(0,∞)exp(-εx)sinx/xdx=∫(0,∞)exp(-εx)f'(x)dx=ε∫(0,∞)exp(-εx)f(x)dx=ε∫(0,∞)exp(-x)f(x/ε)dx

∫(0,∞)exp(-x)dx=1よりε→0のとき、

∫(0,∞)exp(-εx)sinx/xdx→f(∞)=∫(0,∞)sinx/xdx

∫(0,∞)exp(-εx)sinx/xdx==arctan(1/ε)

したがって、∫(0,∞)sinx/xdx=π/2となる。

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