球面三角形の辺長が保たれるように平面上に再構成すると、平面三角形のそれぞれの内角は対応する球面三角形の内角よりも小さい。

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三辺の長さをa,b,c

球面三角形の内角をα、平面三角形の内角をα'とする。

α＞α'→sinα/2＞sinα'/2を示すことと同値である。

s=(a+b+c)/2

(sinα/2)^2=sin(s-b)sin(s-c)/sinbsinc

(sinα'/2)^2=(s-b)(s-c)/bc

したがって、sin(s-b)sin(s-c)/(s-b)(s-c)＞sinbsinc/bcを示せればよい。

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sinx/xが[0,π]で単調減少関数であること

s-b＜c,s-c＜bよりQED

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平面三角形においてR=1とする。外接球の中心角は2α',2β',2γ'であるから

a=2sinα',b=2sinβ',c=2sinγ'

s=sinα'+sinβ'+sinγ'

α'＋β'+γ'＝π

ｓｉｎα'＋ｓｉｎβ'＋ｓｉｎγ'＝４ｃｏｓα'／２・ｃｏｓβ'／２・ｃｏｓγ'／２

より

ｓ＝４ｃｏｓα'／２ｃｏｓβ'／２ｃｏｓγ'／２

(sinα'/a)^2=(sinβ'/b)(sinγ'/c)=1/4

(sinα')^2=(asinβ'/b)(asinγ'/c)

4(sinα'/2cosα'/2)^2=(asinβ'/b)(asinγ'/c)

4(sinα'/2)^2・s^2/16(cosβ'/2)^2(cosγ'/2)^2=(asinβ'/b)(asinγ'/c)

(sinα'/2)^2=(asinβ'/b)(asinγ'/c)4(cosβ'/2)^2(cosγ'/2)^2/s^2

(sinα'/2)^2=(asinβ'/b)(asinγ'/c)(1+cosβ')(1+cosγ')/s^2

a=bcosγ'+ccosβ'

(sinα'/2)^2=(sinβ'/b)(sinγ'/c)(a+acosβ')(a+acosγ')/s^2

(sinα'/2)^2=(a+acosβ')(a+acosγ')/4s^2

=(a+(c^2+a^2-b^2)/2c)(a+(a^2+b^2-c^2)/2b)/4s^2

=((2ca+c^2+a^2-b^2)/2c)((2ab+a^2+b^2-c^2)/2b)/4s^2

=(a+b+c)(a-b+c)(a+b+c)(a+b-c)/16bcs^2

=16s^2(s-b)(s-c)/16bcs^2

(sinα'/2)^2=(s-b)(s-c)/bc

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　ａ＝ｂｃｏｓＢ＋ｃｃｏｓＣ

　　ｂ＝ｃｃｏｓＣ＋ａｃｏｓＡ

　　ｃ＝ａｃｏｓＡ＋ｂｃｏｓＢ

→ａｃｏｓＡ＝（ｂ＋ｃ−ａ）／２

　ｂｃｏｓＢ＝（ｃ＋ａ−ｂ）／２

　ｃｃｏｓＣ＝（ａ＋ｂ−ｃ）／２

→ｃｏｓＡ＝（ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）／２ｂｃ

　ｃｏｓＢ＝（ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2）／２ｃａ

　ｃｏｓＣ＝（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）／２ａｂ

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球面三角形において、

(sinα/sina)^2=(sinβ/sinb)(sinγ/sinc)⇒(sinα/2)^2=sin(s-b)sin(s-c)/sinbsinc

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