任意の三角形に対して

　　ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ＝ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ

が成り立つ．

　この式は

　　γ＝π−（α＋β）

として，ｔａｎの加法公式を用いることにより容易に証明される．役に立つかどうかは別として，私にとってこの公式は対称性のある美しい公式と感じられる．もちろん，美しく感じるかどうかは主観的であり，強制すべきものではないが，きっと多くの人の美意識にも訴えるに違いない（希望）．

　鋭角三角形ならば，算術平均≧幾何平均より

　　ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ≧３3√ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ

前項より，

　　ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≧３3√ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ

したがって，

　　ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≧√２７＝３√３

であるから，

　　ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ≧３√３　　　（等号は正三角形のとき）

を容易に証明することができる．

　これについても

　　ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ≦（３√３／２π）^3αβγ

な不等式が成り立つのだろうか？

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　一般に，鋭角αi（ｉ＝１〜ｎ），Πｔａｎαi≦Ａ^nならば

　　Σαi≦ｎ・ａｒｃｔａｎＡ

が成り立つ．三角形の場合は

　　α＋β＋γ≦３・ａｒｃｔａｎ（√３）＝３・π／３＝π

となって，

　　α＋β＋γ＝π

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