有限フーリエ級数

　　Ｆ（ｍ）＝Σ(k=0~m-1)ｅｘｐ（ｉ（２π／ｍ）ｋ）

を幾何学的に解釈すると，原点から正ｍ角形の頂点に向かって一様に放射状に出る長さ１のベクトルの和であるから，値は０になる．

　今回のコラムでは，ガウスが正ｎ角形の研究中に出会った関数

　　Ｇ（ｍ）＝Σ(k=0~m-1)ｅｘｐ（−ｉ（２π／ｍ）ｋ^2）

について考える．ｋが２乗されていることで，全方向の一様性がなくなってしまい，図形的にみることが難しくなる．

　この関数は長い間ガウスの心を占めていた数学の問題で，現在，ガウス和と呼ばれている．

原始根と関係していると思われるが、偉大なガウスでさえもＧ（ｍ）の値を得るのに数年を要したといわれている．

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【１】ガウス和

　ガウスはこの問題を数論的な手法により１８０５年に解決したのであるが，その３０年後の１８３５年，ディリクレがフーリエ級数を用いて簡潔な証明を生み出した．ガウス和は回折理論で有名なフレネル積分

　　∫(0,∞)sin(ax^2)dx=∫(0,∞)cos(ax^2)dx=1/2√(π/2a)

に帰着され，最終的な結論だけを述べると

　　ｍ＝０（ｍｏｄ４）　→　Ｇ（ｍ）＝（１−ｉ）√ｍ

　　ｍ＝１（ｍｏｄ４）　→　Ｇ（ｍ）＝√ｍ

　　ｍ＝２（ｍｏｄ４）　→　Ｇ（ｍ）＝０

　　ｍ＝３（ｍｏｄ４）　→　Ｇ（ｍ）＝−ｉ√ｍ

　指数の符号をプラスにした

　　Ｈ（ｍ）＝Σ(k=0~m-1)ｅｘｐ（ｉ（２π／ｍ）ｋ^2）

はＧ（ｍ）と複素共役だから，Ｇ（ｍ）がわかればＨ（ｍ）もわかる．

　　ｍ＝０（ｍｏｄ４）　→　Ｈ（ｍ）＝（１＋ｉ）√ｍ

　　ｍ＝１（ｍｏｄ４）　→　Ｈ（ｍ）＝√ｍ

　　ｍ＝２（ｍｏｄ４）　→　Ｈ（ｍ）＝０

　　ｍ＝３（ｍｏｄ４）　→　Ｈ（ｍ）＝ｉ√ｍ

　奇数のｍに対して，

　　｜Ｈ（ｍ）｜^2＝ｍ

である．また，ｍ＝ｐｑで置き換えると，

　　Ｈ（ｐｑ）＝（−１）^(p-1)(q-1)/4Ｈ（ｐ）Ｈ（ｑ）

　ガウス和は有限テータ関数として解釈することができるが，ヤコビのテータ関数は解析数論における数多くの深遠な問題と密接に結びついている．また，ガウス和は物理や通信における散乱，たとえば，コンサート・ホールの音響を弱めないで拡散させることなどに応用されているのである．

　ガウス和の指数を２乗和ｋ^2に制限する理由はなく，ｋ^nすなわちガウスの３乗和，４乗和，５乗和，６乗和，・・・と一般化することもできる．

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