ｃｏｓπ／７＋ｃｏｓ３π／７＋ｃｏｓ５π／７＝１／２

を正弦・余弦の和公式を使って解いてみたい．

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【１】正弦・余弦の和公式

　等差級数

　　Ｓ＝１＋２＋３＋・・・＋ｎ

の値を求めるのに，逆順にして

　　Ｓ＝ｎ＋（ｎ−１）＋（ｎ−２）＋・・・＋１

辺同士を加えると

　　２Ｓ＝（ｎ＋１）＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋１）＋・・・＋（ｎ＋１）

より，

　　Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）／２

　これが等差級数の和公式で，これを使うと，たとえば１から１００まで数の合計が５０５０であることが瞬時に計算できることはご存知であろう．

　この取り扱いと似た方法で，正弦の和公式

　　ｓｉｎα＋ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ３α＋・・・＋ｓｉｎｎα

　＝ｓｉｎｎα／２ｓｉｎ（ｎ＋１）α／２／ｓｉｎα／２

を証明してみよう．

（証明）

　　Ｔ＝ｓｉｎα＋ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ３α＋・・・＋ｓｉｎｎα

　　Ｔ＝ｓｉｎｎα＋ｓｉｎ（ｎ−１）α＋ｓｉｎ（ｎ−２）α＋・・・＋ｓｉｎα

　ここで，和から積への式

　　ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＝２ｓｉｎ（α＋β）／２ｃｏｓ（α−β）／２

を用いると

　　２Ｔ＝２ｓｉｎ（ｎ＋１）α／２｛ｃｏｓ（１−ｎ）α／２＋ｃｏｓ（３−ｎ）α／２＋・・・＋ｃｏｓ（ｎ−３）α／２＋ｃｏｓ（ｎ−１）α／２｝

　両辺にｓｉｎα／２を掛けて，積から和への公式

　　ｓｉｎαｃｏｓβ＝１／２｛ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α−β）｝

を用いると

　　２Ｔｓｉｎα／２

＝ｓｉｎ（ｎ＋１）α／２｛ｓｉｎｎα／２＋ｓｉｎ（１−ｎ／２）α＋・・・＋ｓｉｎ（−１＋ｎ／２）α＋ｓｉｎｎα／２｝

＝２ｓｉｎ（ｎ＋１）α／２ｓｉｎｎα／２

　同様に，余弦の和公式

　　ｃｏｓα＋ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ３α＋・・・＋ｃｏｓｎα

＝ｓｉｎｎα／２ｃｏｓ（ｎ＋１）α／２／ｓｉｎα／２

も証明できる．これらの式において，α＝π／ｎとおくと

　　Σｓｉｎｋπ／ｎ＝ｃｏｔπ／２ｎ

　　Σｃｏｓｋπ／ｎ＝１

　さらに，

　　ｓｉｎα＋ｓｉｎ３α＋ｓｉｎ５α＋・・・＋ｓｉｎ（２ｎ−１）α＝ｓｉｎ^2ｎα／ｓｉｎα

　　ｃｏｓα＋ｃｏｓ３α＋ｃｏｓ５α＋・・・＋ｃｏｓ（２ｎ−１）α＝ｓｉｎ２ｎα／２ｓｉｎα

α＝π／（２ｎ＋１）とおくと，

　　Σｃｏｓ（２ｋ−１）π／（２ｎ＋１）＝１／２

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　すなわち，

　　ｃｏｓπ／７＋ｃｏｓ３π／７＋ｃｏｓ５π／７＝１／２

のみならず

　　ｃｏｓπ／３＝１／２

　　ｃｏｓπ／５＋ｃｏｓ３π／５＝１／２

　　ｃｏｓπ／９＋ｃｏｓ３π／９＋ｃｏｓ５π／９＋ｃｏｓ７π／９＝１／２

　　ｃｏｓπ／１１＋ｃｏｓ３π／１１＋ｃｏｓ５π／１１＋ｃｏｓ７π／１１＋ｃｏｓ９π／１１＝１／２

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