ここまでくれば、正ｎ角形は

　　２^k＝１，２，４，８，・・・

　　２^2^k＋１型素数＝３，５，１７，２５７，６５５３７

　　２^2^k＋１型素数がそれぞれ１回までの積

のとき，定規とコンパスで作図可能であることが理解できるであろう．

　　正１４角形：２・７→作図不可能

　　正１５角形：３・５→作図可能

　　正５０角形：２・５・５→作図不可能

　　正５１角形：３・１７→作図可能

正１７角形の場合は・・・

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［１］ステップ１

　　ζ＝ｃｏｓ（２π／１７）＋ｉｓｉｎ（２π／１７）

とおくと，ζはｘ^17−１＝０の根，ｘ^16＋ｘ^15＋・・・・＋ｘ＋１＝０の根である．ζ^k　（　１≦ｋ≦１６）もｘ^16＋ｘ^15＋・・・・＋ｘ＋１＝０の根であり，

　ζ^16＋ζ^15＋・・・・＋ζ＋１＝０

　　ζ^8＋ζ^7＋・・・・＋ζ^-7＋ζ^-8＝０

　ここで，

　　ｗ＝ζ＋ζ^2＋ζ^4＋ζ^8＋ζ^-1＋ζ^-2＋ζ^-4＋ζ^-8

　　ｗ’＝ζ^3＋ζ^5＋ζ^6＋ζ^7＋ζ^-3＋ζ^-5＋ζ^-6＋ζ^-7

とおく．

　　ζ^16＋ζ^15＋・・・・＋ζ＝ｗ＋ｗ’＝−１

　　ｗ＝（ζ＋ζ^-1）＋（ζ^8＋ζ^-8）＋（ζ^4＋ζ^-4）＋（ζ^2＋ζ^-2）＝２（ｃｏｓ（２π／１７）＋ｃｏｓ（１６π／１７）＋ｃｏｓ（８π／１７）＋ｃｏｓ（４π／１７））＞０

　また，直接の計算により，ｗｗ’＝−４となるから，ｗはｘ^2＋ｘ−４＝０の根．

　　ｗ＝（√１７−１）／２＝１．５６１５５

　　ｗ’＝（−√１７−１）／２

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［２］ステップ２

　　ｚ＝ζ＋ζ^4＋ζ^-1＋ζ^-4＝２（ｃｏｓ（２π／１７）＋ｃｏｓ（８π／１７））＞０

　　ｚ’＝ｗ−ｚ＝ζ^2＋ζ^8＋ζ^-2＋ζ^-8

　　ξ＝ζ^3＋ζ^5＋ζ^-3＋ζ^-5＝２（ｃｏｓ（６π／１７）＋ｃｏｓ（１０π／１７））＞０

　　ξ’＝ｗ’−ξ＝ζ^-7＋ζ^-6＋ζ^6＋ζ^7

とおくと，直接の計算により，ｚｚ’＝−−１，ξξ’＝−１となるから，ｚ，ｚ’はｘ^2−ｗｘ−１＝０の根．ξ，ξ’はｘ^2−ｗ’ｘ−１＝０の根．

　　ｚ＝（ｗ＋√（ｗ^2＋４））／２＝（−１＋√１７＋√（３４−２√１７））／４＝２．０４９４８

　　ｚ’＝（ｗ−√（ｗ^2＋４））／２＝（−１＋√１７−√（３４−２√１７））／４

　　ξ＝（ｗ’＋√（ｗ’^2＋４））／２＝（−１−√１７＋√（３４＋２√１７））／４

　　ξ’＝（ｗ’−√（ｗ’^2＋４））／２＝（−１−√１７−√（３４＋２√１７））／４

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［３］ステップ３

　　ｙ＝ζ＋ζ^-1＝２ｃｏｓ（２π／１７）＞０

　　ｙ’＝ｚ−ｙ＝ζ^4＋ζ^-4＝２ｃｏｓ（８π／１７）＜ｙ

とおくと，直接の計算により，ｙｙ’＝ξとなるから，ｙ，ｙ’はｘ^2−ｚｘ＋ξ＝０の根．

　　ｙ＝（ｚ＋√（ｚ^2−４ξ））／２＝１／８｛−１＋√１７＋√（３４−２√１７）＋２√（１７＋３√１７＋√（１７０−２６√１７）−４√（３４＋２√１７）｝＝１．８６４９４

　　ｙ’＝（ｚ−√（ｚ^2−４ξ））／２

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［４］ステップ４

　　ζはｘ^2−ｙｘ＋１＝０の根．

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［５］まとめ

ガウスは１８歳のとき、原始根から

2cos(2π/17）=

１／８｛−１＋√１７＋√（３４−２√１７）＋２√（１７＋３√１７＋√（１７０−２６√１７）−４√（３４＋２√１７）｝＝１．８６４９４

を発見した。

　　Ｑ→（２次拡大）→Ｑ（ｗ）→（２次拡大）→Ｑ（ｗ，ｚ）→（２次拡大）→Ｑ（ｗ，ｚ，ｙ）→（２次拡大）→Ｑ（ζ）

より，ζは四則演算と平方根を使って書くことができる→ζは定規とコンパスを使って作図可能であることが示されるとか、このようなまわりくどい話は不要なのである。

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