［Ｑ］ｃｏｓ２π／７＋ｃｏｓ４π／７＋ｃｏｓ８π／７＝？

［Ｑ］ｓｉｎ２π／７＋ｓｉｎ４π／７＋ｓｉｎ８π／７＝？

これらの解法を紹介したい．

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これらの解法を紹介したい．

　α＝ｃｏｓ２π／７＋ｉｓｉｎ２π／７

　α^k＝ｃｏｓ２ｋπ／７＋ｉｓｉｎ２ｋπ／７

β＝α＋α^2＋α^4とおく．

ｓｉｎ２π／７＋ｓｉｎ４π／７＋ｓｉｎ８π／７はβの虚部となる。

βを求めるためには

β~＝α^3＋α^5＋α^6と置く。

α^7＝１→（α−１）（α^6＋α^5＋α^4＋α^3＋α^2＋α＋１）＝０

β~＝（α＋α^2＋α^4）~＝α^6＋α^5＋α^3

β＋β~＝α＋α^2＋α^4＋α^6＋α^5＋α^3＝−１・・・αが消える

β・β~＝（α＋α^2＋α^4）（α^6＋α^5＋α^3）=α^4＋α^5＋α^6+3+α^8＋α^9＋α^10

＝３＋α^6＋α^5＋α^4＋α^3＋α^2＋α＝２・・・αが消える

　したがって，β，β~はｚ^2＋ｚ＋２＝０の２根

　　（−１±ｉ√７）／２

　　β＝（−１＋ｉ√７）／２，β~＝（−１−ｉ√７）／２

［Ａ］ｃｏｓ２π／７＋ｃｏｓ４π／７＋ｃｏｓ８π／７＝Ｒｅ（β）＝−１／２

［Ａ］ｓｉｎ２π／７＋ｓｉｎ４π／７＋ｓｉｎ８π／７＝Ｉｍ（β）＝√７／２

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β＝α＋α^2＋α^3

β~＝α^4＋α^5＋α^6とおいた場合、

β＋β~＝１であるが、

β・β~＝（α＋α^2＋α^3）（α^4＋α^5＋α^6）=α^5＋α^6＋1+α^6＋1+α＋1+α+α^2

＝３＋α^5＋α^6＋α^6＋α＋α＋α^2・・・αが残ってしまう

積にαが残らないための唯一の方法が

β＝α＋α^2＋α^4

β~＝α^3＋α^5＋α^6の組み合わせなのである。

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