(1)２数ａ0，ｂ0をとり，ａ1＝（ａ0＋ｂ0）／２，ｂ1＝√ａ0ｂ0を計算する．次に，ａ2＝（ａ1＋ｂ1）／２，ｂ2＝√ａ1ｂ1とする．

　０＜ａ＜ｂのとき

　ａ＝ａ0＜ａ1＜ａ2＜・・・＞ｂ2＞ｂ1＞ｂ0＞ｂ

Ｍ（ａ，ｂ）＝ｌｉｍａn＝ｌｉｍｂn

Ｍ（ｒａ，ｒｂ）＝ｒＭ（ａ，ｂ）

Ｍ（ａ，ｂ）＝ｂＭ（ａ／ｂ，１）

Ｍ（ａ，ｂ）＝ａＭ（１，ｂ／ａ）

ｋ’＝ｂ／ａ，ｋ^2＝１−ｋ’^2

　　Ｍ（ａ，ｂ）＝１／（2/π∫(0,1)ｄｘ/√（１−ｘ^2）（１−ｋ^2ｘ^2））

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(2)ａ0＝1，ｂ0＝√2から始めると、その極限値は、π/ω=1.19・・・

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驚くべきことに算術幾何平均は楕円積分にも現れます。

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　ｆ＝Ｇ，ｇ＝Ａならば極限Ｍ（ａ，ｂ）は楕円積分

　　Ｍ（ａ，ｂ）＝１／（2/π∫(0,π/2)ｄφ/√{(acosφ)^2+(bsinφ)^2}）

により表すことができる（ガウス）．

∫(0,π/2)ｄφ/√{(acosφ)^2+(bsinφ)^2}＝∫(0,π/2)ｄφ/√{((a+b)/2・cosφ)^2+(√ab・sinφ)^2}

この式は第１種完全楕円積分に関するランデン変換と同値で、a,bに(a+b)/2,√abを対応させる積分不変量を表しています。

１９７６年、ブレントとサラミンはπの強力な計算公式を導出しました

（証明）

左辺においてx=btanθと置換すると∫(0,∞)dx/(x^2+a^2)^1/2(x^2+b^2)^1/2

右辺は1/2∫(-∞,∞)dy/(y^2+{(a+b)/2}^2)^1/2(y^2+ab)^1/2

y=1/2・(x-ab/x)と置換すると両者が等しいことがわかる

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算術幾何平均の一般化

(a,b)→(f(a,b),g(a,b))

f(a,b)=(a+b)/2,g(a,b)=(ab)^1/2ですが、

f(a,b)=(a+2b)/3,g(a,b)={(a^2+ab+b^2)b/3}^1/3

f(a,b)={(a^2+2b^2)/4}^1/2,g(a,b)={(a^2+b^2)b^2/2}^1/4

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