代数関数とはならない場合を考えてみることにしましょう．指数関数：ｙ＝ｅｘｐ（ｘ）は座標（０，１）を通りますが，点（０，１）がこの滑らかな曲線上の唯一の代数的点であって，自明な点（０，１）を除き代数的点を通ることができません．これが指数曲線や対数曲線が超越曲線と呼ばれる所以なのですが，これ以外のどの代数的点にもぶつからないのは驚くべきことです．

　超幾何関数の値は微分方程式のモノドロミー群に深く関わってくるのですが，超越関数となる超幾何関数の代数的な変数での特殊値はふつう超越的です．しかし，超越関数でありながらも，ときどき予期されない代数的値をとることがあります．

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　例をあげると，楕円積分と関わる保型関数

　　4√E4(z)=2F1(1/12,5/12;1;1728/j(z))

とのつながりから，ガウスの超幾何関数

　　2F1(1/12,5/12;1/2;1323/1331)=3/4･4√11

など，思いもかけないような式がヴォルファルトにより得られています．ｘ座標1323/1331もｙ座標3/4･4√11も代数的数になるというわけですが，このように自明でない代数的点が存在するのです（→コラム「数にまつわる話」参照）．

　　2F1(1/12,7/12;2/3;64000/64009)=2/3･6√253

などもその例ですが，現在，2F1ばかりでなく，一般的な超幾何関数nFn-1が代数的になる条件はボイカーズとヘックマンによりすでに決定されているようです．

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j(i)=1728=12^3

j(i√2)=8000=20^3

j((1+i√3)/2=0

j((1+i√7)/2=-3375=-15^3

j((1+i√11)/2=-32^3

j((1+i√19)/2=-96^3

j((1+i√43)/2)=-960^3

j((1+i√67)/2)=-5280^3

j((1+i√163)/2)=-640320^3

j(i)=1728,j(ω)=0のようにきわめて超越的な関数が、整数になってしまうのである。

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q=exp(2πiz)

E4(z)=1+240Σσ3(n)q^n

E6(z)=1+504240Σσ5(n)q^n

Δ(z)=1/1728・{E4(z)^3-E6(z)^2}=qΠ(1-q^2)^24=q-24q^2+252q^3-・・・

j(z)=E4(z)^3/Δ(z)=q^-1+744+196884q+・・・

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θ(z)=Σexp(πin^2z)=1+2q^1/2+2q^2+2q^9/2+・・・

η(z)=Δ(z)^1/24=q^1/24Π(1-q^n)

λ(z)=16η(z/2)^8η(2z)^16/η(z)^24=1-η(z/2)^16η(2z)^8/η(z)^24=16q^1/2-128q+704q^3/2-・・・

f(z)=2F1(1/2,1/2,1:λ(z))

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Δ(z)=qΠ(1-q^n)^24=Στ(m)q^m, |τ(p)|≦2p^11/2

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