【１】フラクタル幾何学

　ハウスドルフ測度Ｈはルベーグ測度Ｌを一般化したものになっていて，ｎ次元単位球の体積をｖnとすれば，

　　Ｌ＝２^(-n)ｖnＨ＝２^(-n)π^(n/2)/Γ(n/2+1)Ｈ

の関係があることが知られている．

　２^nは１辺の長さが２の超立方体の体積であるし，

　　ｖn＝π^(n/2)/Γ(n/2+1)

は半径１の単位超球の体積である．すなわち，この式からハウスドルフ測度Ｈは円被覆，ルベーグ測度Ｌは正方形被覆と関係しているということが読みとれるであろう．

掛谷予想ととりわけフーリエ解析との古くしかも深いものがある。

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[0,1]上の１変数の可積分関数ｆに対して、その部分和

sNf(x)=Σ(|n|＜=N)cn(f)exp(2πinx),cn=∫(0,1)f(t)exp(-2πinx)dt

を考える。Ｎ→∞のとき、sNf(x)→ｆに収束する（リースの定理）。

しかし２変数以上になると様相が一変する。ｄ変数の場合、

方形和：sNf=Σ(|n1|＜=N,・・・,|nd|＜=N)cn1,cn2,・・・,cnd(f)exp(2πi(n1x1+n2x2+・・・ndxd)

球形和：sNf=Σ(n1^2+・・・nd^2＜=N)cn1,cn2,・・・,cnd(f)exp(2πi(n1x1+n2x2+・・・ndxd)

といった部分和が考えられる。

方形和では多変数の場合であってもリースの定理が成り立つが、球形和の場合は成り立たない。

フェファーマンはシェーンベルグによって改良されたベシコヴィッチによる掛谷集合の構成法を本質的に用いて、多変数の場合、球形和ではリースの定理が成り立たないことを証明したのであった。フェファーマンの結果は円板予想2d/(d+1)＜p＜2d/(d-1)を覆すものであった。

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【２】雑感

マーデルング定数の計算においても、方形和は収束し、球形和は収束しないのであった。

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