正三角形の中央をくりぬいたシェルピンスキーのガスケットは面積０の図形であるが、そのフラクタル次元は１．５８５である。立方体の中央をくりぬいたメンガーのスポンジは体積０の図形であるが、そのフラクタル次元は２．７３である。しかしながら…

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　ベシコヴィッチ集合はあらゆる方向の針を含む面積０の図形（ルベーグ測度０、 掛谷集合）であるが，そのフラクタル次元（ハウスドルフ次元)は２であることがディヴィスによって証明されている（１９７１年）．

　３次元空間のあらゆる方向の針を含む体積０の図形のフラクタル次元は３であると予想されている（カッツ、ラバ、タオにより２．５より大きいことが証明されている。２０００年）．

　一般に，ｎ次元空間のあらゆる方向の針を含む面積０（ルベーグ測度０）の図形のフラクタル次元はｎであると予想（掛谷予想）されているが、未解決である。この予想は実解析でもっとも有名な予想の一つである。

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