［Ｑ］不定方程式：ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2，（ｘ，ｙ，ｚ）＝１はｘ，ｙのどちらか一方が２ｕｖ，他方がｕ^2−ｖ^2の形で，ｚがｕ^2＋ｖ^2の形をしているとき，そのときに限り満足されることを証明せよ．ただし，（ｕ，ｖ）＝１でｕｖは偶数．

［Ａ］ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2が成立したとすれば，ｘ，ｙのいずれかは偶数でなければならない．ｘがそうだとすれば

　　（ｘ／２）^2＝（ｚ＋ｘ）／２・（ｚ−ｘ）／２

しかも（（ｚ＋ｘ）／２，（ｚ−ｘ）／２）＝１．ゆえに，

　　ｘ／２＝ｕｖ，（ｚ＋ｘ）／２＝ｕ^2，（ｚ−ｘ）／２＝ｖ^2

となる整数ｕ，ｖが存在する．

　すべてのピタゴラス数が，

　　ｘ＝２ｕｖ，ｙ＝ｕ^2−ｖ^2，ｚ＝ｕ^2＋ｖ^2

のように表されることは，ｘ^2＋ｙ^2＝１上のすべての有理点が

　　（２ｔ／（１＋ｔ^2），（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2））

であることによっている．

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［Ｑ］不定方程式：ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4は整数解をもたないことを証明せよ．

［Ａ］ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2が成立したとすれば，ｘを偶数として

　　ｘ^2＝２ｕｖ，ｙ^2＝ｕ^2−ｖ^2，（ｕ，ｖ）＝１

と書ける．もしｕが偶数なら，ｙ^2＝４Ｎ＋１，ｕ^2＝４Ｎ1＋１，ｖ^2＝４Ｎ2，４Ｎ＋１＝４Ｎ1−４Ｎ2−２となって矛盾が起こるから，ｖは偶数である．

　ゆえに，ｕ＝ｚ1^2，ｖ＝２ｗ^2，ｙ^2＋４ｗ^4＝ｚ1^4，２ｗ^2＝２ｕ1ｖ1，ｕ1＝ｘ1^2，ｖ1＝ｙ1^2，ｘ1^4＋ｙ1^4＝ｚ1^2となるが，ｚ1＜ｚだからこれは不可能（ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^2が整数解をもたないことから，当然ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4も整数解をもたない）．

　次は，フェルマー予想

『ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^nでｎ≧３のとき，ｘ，ｙ，ｚは正の整数解をもたない』

の番である．

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