［２］回転する正方形の追跡問題

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1辺の長さが1の正方形を考える。4頂点が辺上を時計回りにaだけ移動すると、元の正方形に内接する少し小さな正方形ができる。

その辺長は

x={a^2+((1-a)^2}^1/2=(2a^2-2a+1)^1/2

となる。

この操作を無限に続けていくと、渦巻は正方形の中心でぶつかり、1本の渦の長さは

L=a+ax+ax^2+ax^3+・・・=a/(1-x)={1+(2a^2-2a+1)^1/2}/2(1-a)

となる。

a→0のとき、L→1となり、らせん正方形の渦の長さは元の正方形の1辺の長さに等しいことになる。

すなわち、犬はお互いに渦巻運動するが、元の正方形の1辺ととおなじ距離を進み、正方形の中心で衝突するのである。

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正方形の頂点と重心間の距離をbとすると

bcos60=1/2→b=1/2・1/cos45

b^2+b^2tan^2(45)=b^2/cos^2(45)

L=1/2・1/(cos45)^2=1

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