［２］回転する正五角形の追跡問題

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1辺の長さが1の正五角形を考える。5頂点が辺上を時計回りにaだけ移動すると、元の正五角形に内接する少し小さな正五角形ができる。

その辺長は

x={a^2+((1-a)^2-2a(1-a)cos108}^1/2=((2-1/φ)a^2-(2-1/φ)a+1)^1/2

となる。

この操作を無限に続けていくと、渦巻は正五角形の中心でぶつかり、1本の渦の長さは

L=a+ax+ax^2+ax^3+・・・=a/(1-x)=a/{1-(2-1/φ)a^2-(2-1/φ)a+1)^1/2}

={1+((2-1/φ)a^2-(2-1/φ)a+1)^1/2}/(2-1/φ)(1-a)

となる。

a→0のとき、L→2/(2-1/φ)=(10+2√5)/10 となる。

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正五角形の頂点と重心間の距離をbとすると

bcos54=1/2→b=1/2・1/cos54

b^2+b^2tan^2(54)=b^2/cos^2(54)

L=1/2・1/(cos54)^2=(10+2√5)/10

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