正方形の４つの頂点の１匹ずつ犬がいる．それぞれ，同じ速さで隣の犬を追いかけたとする．それぞれの犬はいつも前方にいる犬に向かって同じスピードで進む．４匹の犬を結ぶ図形は回転しながら次第に小さくなる正方形になり，元の正方形の中心で出会うことになる．

［Ｑ］このとき犬のたどる軌跡とその長さは？

［Ａ］等角らせんで，正方形の１辺の長さに等しい

　このシリーズは正方形の追跡曲線の問題を正ｎ角形の場合，すなわち，

［Ｑ］正ｎ角形の４つの頂点の１匹ずつ犬がいる．それぞれ，同じ速さで隣の犬を追いかけたとする．それぞれの犬はいつも前方にいる犬に向かって同じスピードで進む．ｎ匹の犬を結ぶ図形は回転しながら次第に小さくなる正ｎ角形になり，元の正ｎ角形の中心で出会うことになる．このとき犬のたどる軌跡とその長さは？

に一般化したものである．

　今回のコラムではこれまでのまとめをしておきたい．

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【１】等角らせん

　等角らせんとは

　　ｒ＝ａ＾θ

により表される曲線である．中心角θが一致の角度進む毎に中心からの距離ｒの値が一定倍になるのであれば，追跡曲線の問題もおおよそ等角らせんとなる渦巻きを描くのである．

　また，等角らせんは動径をいつも一定の角度で横切るという特徴がある．

　　ｒ＝ａｅｘｐｂθ

とした場合，動径ベクトルと速度ベクトルのなす角は

　　ｃｏｓφ＝ｂ／（ｂ^2＋１）^1/2

であるから，φはθによらず一定である．

　　ｃｏｓφ＝ｂ／（ｂ^2＋１）^1/2

　　（ｃｏｓφ）^2＝ｂ^2／（ｂ^2＋１）

　　ｂ＝ｃｏｔφ

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【２】追跡曲線での一般解

　追跡曲線では

　　φ＝π／２−π／ｎ

となるから，

　　ｂ＝ｔａｎ（π／ｎ）

　　ｎ＝３のとき，ｂ＝√３

　　ｎ＝４のとき，ｂ＝１

　　ｎ＝５のとき，ｂ＝√（５−２√５）

　　ｎ＝６のとき，ｂ＝１／√３

　　ｎ＝８のとき，ｂ＝√２−１

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【３】追跡曲線の弧長

　１辺の長さが１の正ｎ角形を考える．その面積は

　　Ｓ＝ｎ／４・ｃｏｔ（π／ｎ）

また，隣接する２辺とその弦からなる三角形の面積は

　　Ｓ0＝１／２・ｓｉｎ（２π／ｎ）＝ｓｉｎ（π／ｎ）ｃｏｓ（π／ｎ）

　　ｍ＝Ｓ0／Ｓ＝４／ｎ・（ｓｉｎ（π／ｎ））^2

　　ｍｎ＝４・（ｓｉｎ（π／ｎ））^2

　また，対数らせんの方程式をｒ＝ａ^θとした場合，

　　ａ＝ｅｘｐ（√（ｍｎ／（４−ｍｎ）））＝ｅｘｐ（ｔａｎ（π／ｎ））

になる．

　ｒ＝ａｅｘｐｂθとした場合は，

　　ｂ＝√（ｍｎ／（４−ｍｎ））＝ｔａｎ（π／ｎ）

で与えられる．これは［２］の結果と一致している．

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