対数らせんの方程式は

　　ｒ＝ａ^θ，ｄｒ／ｄθ＝ａ^θｌｏｇａ

になる．

　極座標表示されたこの曲線の長さは

　　∫（ｒ^2＋（ｄｒ／ｄθ）^2）^1/2ｄθ

　＝∫ａ^θ（１＋（ｌｏｇａ）^2）^1/2ｄθ

　＝［ａ^θ／ｌｏｇａ・（１＋（ｌｏｇａ）^2）^1/2］

たとえば，０≦θ≦（π／２−π／ｎ）ならば

　　（ａ^（π／２−π／ｎ）−１）／ｌｏｇａ・（１＋（ｌｏｇａ）^2）^1/2

と求まる．

　　ａ＝ｅｘｐ（√（ｍｎ／（４−ｍｎ）））

とおくと，

　　１／ｌｏｇａ・（１＋（ｌｏｇａ）^2）^1/2

　＝１／√（ｍｎ／（４−ｍｎ））・２／√（４−ｍｎ）＝２／√ｍｎ

となるが，

　　（ａ^（π／２−π／ｎ）−１）／ｌｏｇａ・（１＋（ｌｏｇａ）^2）^1/2

が正ｎ角形の１辺の長さと関係しているようには見えない．

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　なお，極座標表示された曲線の長さの公式は，直交座標系で表すと

　　（ｘ，ｙ）＝（ｒｃｏｓ，ｒｓｉｎθ）

であるから

　　∫（（ｄｘ／ｄθ）^2＋（ｄｙ／ｄθ）^2）^1/2ｄθ

　＝∫（（ｒ’ｃｏｓθ−ｒｓｉｎθ）^2＋（ｒ’ｓｉｎθ＋ｒｃｏｓθ）^2）^1/2ｄθ

　＝∫（ｒ^2＋（ｒ’）^2）^1/2ｄθ

と求まる．

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