各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は，もとの図形の三角形小部分の面積のｋ（ｋ−１）倍になるが，もとの三角形は３重に，もとの四角形は２重に数えられているので，それぞれ，

　　３ｋ（ｋ−１）＋１

　　２ｋ（ｋ−１）＋１

になる．

　しかし，任意のｎ（≧５）角形では，与えられた図形に数えられない部分が生ずるので，同様の公式は存在しないことになるが，正ｎ角形に対しては公式を作ることができる．

　　ｍ・ｎｋ（ｋ−１）＋１

　　ｎ＝３のとき，ｍ＝１

　　ｎ＝４のとき，ｍ＝１／２

　　ｎ＝５のとき，ｍ＝１／（２＋τ）

　　ｎ＝６のとき，ｍ＝１／６

　黄金三角形にはタイプ１（３６°，７２°，７２°の二等辺三角形，面積Ｓ1）とタイプ２（１０８°，３６°，３６°の二等辺三角形，面積Ｓ2）があるが，正５角形は１つのタイプ１と２つのタイプ２の黄金二等辺三角形に分割できる．Ｓ1＝φＳ2であることから，ｍ＝１／（２＋φ）．また，ｎ＝６のとき，Ｓ1＝２Ｓ2よりｍ＝１／６となることがわかる．

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　対数らせんの方程式は

　　ｒ＝ａ^θ，ｄｒ／ｄθ＝ａ^θｌｏｇａ

になる．

　ｋのとき，拡大ｎ角形の１辺の長さは√Ｍになる．ここで，余弦定理

　　（ｋ−１）^2＝ｋ^2＋（√Ｍ）^2−２・ｋ・√Ｍｃｏｓα

　　ｃｏｓα＝（ｍｎｋ−ｍｎ＋２）／２√Ｍ，α＝ａｒｃｃｏｓ（（ｍｎｋ−ｍｎ＋２）／２√Ｍ）

　ｋで微分すると

　　（√Ｍ）’＝（２ｍｎｋ−ｍｎ）／２Ｍ^1/2

　　（（ｍｎｋ−ｍｎ＋２）／２√Ｍ）’＝ｍｎ（ｍｎ−４）（ｋ−１）／４Ｍ^3/2

　　（ａｒｃｃｏｓｘ）’＝−１／（１−ｘ^2）^1/2

より，

　　ｄｒ／ｄｋ＝ｄ（√Ｍ）／ｄｋ＝（２ｍｎｋ−ｍｎ）／２Ｍ^1/2

　　ｄθ／ｄｋ＝（ａｒｃｃｏｓα）’＝（√ｍｎ（４−ｍｎ））／２Ｍ

　　ｄｒ／ｄθ＝（ｄｒ／ｄｋ）／（ｄθ／ｄｋ）

　ｋが１→１＋ｄｋ進むとき，

　　ｄｒ／ｄｋ｜k=1＝ｍｎ／２

　　ｄθ／ｄｋ｜k=1＝（√ｍｎ（４−ｍｎ））／２

　　ｄｒ／ｄθ｜k=1＝√（ｍｎ／（４−ｍｎ））→ｌｏｇａ＝√（ｍｎ／（４−ｍｎ）），ａ＝ｅｘｐ（√（ｍｎ／（４−ｍｎ）））

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　　ｒ＝ａｅｘｐｂθ

の動径ベクトルと速度ベクトルのなす角は

　　ｃｏｓφ＝ｂ／（ｂ^2＋１）^1/2

であるから，φはθによらず一定である．

［１］回転する正五角形の追跡問題→ｂ＝√（５／（３＋４τ））＝√（５−２√５）→φ＝√（１０−２√５）／４→φ＝３π／１０　　　（ＯＫ）

［２］回転する正六角形の追跡問題→ｂ＝１／√３→φ＝π／３　　　（ＯＫ）

　予想は大当たりで，

　　φ＝π／２−π／ｎ

　　ｂ＝ｔａｎ（π／ｎ）

　　ｎ＝３のとき，ｂ＝√３

　　ｎ＝４のとき，ｂ＝１

　　ｎ＝５のとき，ｂ＝√（５−２√５）

　　ｎ＝６のとき，ｂ＝１／√３

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