対数らせんの方程式は

　　ｒ＝ａ^θ，ｄｒ／ｄθ＝ａ^θｌｏｇａ

になる．

　今回のコラムでは

［Ｑ］正三角形の３つの頂点の１匹ずつ犬がいる．それぞれ，同じ速さで隣の犬を追いかけたとする．それぞれの犬はいつも前方にいる犬に向かって同じスピードで進む．３匹の犬を結ぶ図形は回転しながら次第に小さくなる正三角形になり，元の正三角形の中心で出会うことになる．このとき犬のたどる軌跡は？

［Ａ］対数らせん

の正確なａの値を求めてみたい．

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【１】正確なａの値

　ｋのとき，拡大三角形の１辺の長さは√Ｍになる．ここで，余弦定理

　　（ｋ−１）^2＝ｋ^2＋（√Ｍ）^2−２・ｋ・√Ｍｃｏｓα

　　ｃｏｓα＝（３ｋ−１）／２√Ｍ，α＝ａｒｃｃｏｓ（（３ｋ−１）／２√Ｍ）

　ｋで微分すると

　　（√Ｍ）’＝（６ｋ−３）／２Ｍ^1/2

　　（（３ｋ−１）／２√Ｍ）’＝（−３ｋ＋３）／４Ｍ^3/2

　　（ａｒｃｃｏｓｘ）’＝−１／（１−ｘ^2）^1/2

より，

　　ｄｒ／ｄｋ＝ｄ（√Ｍ）／ｄｋ＝（６ｋ−３）／２Ｍ^1/2

　　ｄθ／ｄｋ＝（ａｒｃｃｏｓα）’＝（√３）／２Ｍ

　　ｄｒ／ｄθ＝（ｄｒ／ｄｋ）／（ｄθ／ｄｋ）

　ｋが１→１＋ｄｋ進むとき，

　　ｄｒ／ｄｋ｜k=1＝３／２

　　ｄθ／ｄｋ｜k=1＝（√３）／２

　　ｄｒ／ｄθ｜k=1＝√３→ｌｏｇａ＝√３，ａ＝ｅｘｐ（√３）

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