対数らせんの方程式は

　　ｒ＝ａ^θ，ｄｒ／ｄθ＝ａ^θｌｏｇａ

になる．

　今回のコラムでは

［Ｑ］正方形の４つの頂点の１匹ずつ犬がいる．それぞれ，同じ速さで隣の犬を追いかけたとする．それぞれの犬はいつも前方にいる犬に向かって同じスピードで進む．４匹の犬を結ぶ図形は回転しながら次第に小さくなる正方形になり，元の正方形の中心で出会うことになる．このとき犬のたどる軌跡は？

［Ａ］対数らせん

の正確なａの値を求めてみたい．

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【１】正確なａの値

　ｋのとき，拡大四角形の１辺の長さは√Ｍになる．ここで，余弦定理

　　（ｋ−１）^2＝ｋ^2＋（√Ｍ）^2−２・ｋ・√Ｍｃｏｓα

　　ｃｏｓα＝ｋ／√Ｍ，α＝ａｒｃｃｏｓ（ｋ／√Ｍ）

　ｋで微分すると

　　（√Ｍ）’＝（２ｋ−１）／Ｍ^1/2

　　（ｋ／√Ｍ）’＝（−ｋ＋１）／Ｍ^3/2

　　（ａｒｃｃｏｓｘ）’＝−１／（１−ｘ^2）^1/2

より，

　　ｄｒ／ｄｋ＝ｄ（√Ｍ）／ｄｋ＝（２ｋ−１）／Ｍ^1/2

　　ｄθ／ｄｋ＝（ａｒｃｃｏｓα）’＝１／Ｍ

　　ｄｒ／ｄθ＝（ｄｒ／ｄｋ）／（ｄθ／ｄｋ）

　ｋが１→１＋ｄｋ進むとき，

　　ｄｒ／ｄｋ｜k=1＝１

　　ｄθ／ｄｋ｜k=1＝１

　　ｄｒ／ｄθ｜k=1＝１→ｌｏｇａ＝１，ａ＝ｅ

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