正方形の４つの頂点の１匹ずつ犬がいる．それぞれ，同じ速さで隣の犬を追いかけたとする．それぞれの犬はいつも前方にいる犬に向かって同じスピードで進む．４匹の犬を結ぶ図形は回転しながら次第に小さくなる正方形になり，元の正方形の中心で出会うことになる．

［Ｑ］このとき犬のたどる軌跡は？

［Ａ］等角らせん

［Ｑ］正方形の１辺の長さは３０ｍ，それぞれの犬は１ｍ／ｓの速度で動くとする．犬達が正方形の中心で出会うのにどれくらいの時間がかかるか？

［Ａ］等角らせんの伸開線と縮閉線は，もとの等角らせんと合同な等角らせんになる．犬の進む経路と正方形の１辺の長さは等しいからら，３０秒．

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【１】等角らせん

　等角らせんとは

　　ｒ＝ａ＾θ　　　（あるいはｒ＝ａｅｘｐｂθ）

により表される曲線で，動径をいつも一定の角度で横切るという特徴があり，対数らせんとも呼ばれています．

［証］ｒ＝ａｅｘｐｂθ

の動径ベクトルは

　　（ｘ，ｙ）＝（ａｅｘｐｂθｃｏｓθ，ａｅｘｐｂθｓｉｎθ）

速度ベクトルは

　　（ｖx，ｖy）＝（ａｅｘｐｂθ（ｂｃｏｓθ−ｓｉｎθ），ａｅｘｐｂθ（ｂｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）

である．

　ここで，動径ベクトルと速度ベクトルのなす角は

　　ｃｏｓφ＝ｂ／（ｂ^2＋１）^1/2

であるから，φはθによらず一定である．

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