ある長さのひもの先に石を結びつけて引っ張りながらｘ軸上を歩くと，石の通る軌跡が追跡線

　　ｘ＝ａ（ｌｏｇｔａｎ（θ／２）＋ｃｏｓθ），ｙ＝ａｓｉｎθ

になります．追跡線上の点と、その点での接線がｘ軸と交わる点との距離ａは常に一定です．この性質が追跡線というこの曲線の名前の由来です．それでは，・・・

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　正方形の４つの頂点の１匹ずつ犬がいる．それぞれ，同じ速さで隣の犬を追いかけたとする．それぞれの犬はいつも前方にいる犬に向かって同じスピードで進む．４匹の犬を結ぶ図形は回転しながら次第に小さくなる正方形になり，元の正方形の中心で出会うことになる．

［Ｑ］このとき犬のたどる軌跡は？

［Ａ］等角らせん

　等角らせんとは

　　ｒ＝ａ＾θ　　　（あるいはｒ＝ａｅｘｐｋθ）

により表される曲線で，動径をいつも一定の角度で横切るという特徴があり，対数らせんとも呼ばれています．

　昆虫には太陽光線に対して一定の角度を維持しながら飛ぶという習性があり，（太陽光線は平行光線とみなせるので日中は問題ないが）夏の夜，街灯や集蛾灯の回りをぐるぐる飛び回る虫の飛跡は等角らせんとなります．

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［Ｑ］正方形の１辺の長さは３０ｍ，それぞれの犬は１ｍ／ｓの速度で動くとする．犬達が正方形の中心で出会うのにどれくらいの時間がかかるか？

［Ａ］等角らせんの伸開線と縮閉線は，もとの等角らせんと合同な等角らせんになる．犬の進む経路と正方形の１辺の長さは等しいからら，３０秒．

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［補］伸開線と縮閉線

　曲線Ｌのまわりに巻かれた糸があり，この糸をぴんと張ったままほどくと糸の自由端によって曲線Ｍが描かれるとします．ＭをＬの伸開線（インボリュート），ＬをＭの縮閉線（エボリュート）と呼びます．

　円の伸開線，すなわち円に巻きつけた糸の一端の軌跡は

ｘ＝ａ（ｃｏｓθ＋θｓｉｎθ），ｙ＝ａ（ｓｉｎθ−θｃｏｓθ）

と表され，歯車の歯形として工学に応用されています．また，放物線：ｙ＝ｘ2 の縮閉線はｙ＝１／２＋３（ｘ／４）^2/3 です．逆に，半立方放物線：ｙ2 ＝ａｘ3 の伸開線は放物線になります．

　カテナリー（懸垂線）の伸開線はトラクトリックス（追跡線）と呼ばれています．

　サイクロイド：ｘ＝ｒ（θ−ｓｉｎθ），ｙ＝ｒ（１−ｃｏｓθ）の縮閉線は

　　ｘ＝ａ（θ＋ｓｉｎθ），ｙ＝−ａ（１−ｃｏｓθ）

です．ここで，θ＝π＋ｔとおけば

　　ｘ＝ａ（ｔ−ｓｉｎｔ）＋ａπ，ｙ＝ａ（１−ｃｏｓｔ）−２ａ

ですから，もとのサイクロイドと合同なサイクロイドになることが示されます．

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