【１】カテナリー（懸垂線）

　ひもの両端を固定しぶら下げてできる曲線を懸垂線（カテナリー）といいます。懸垂線はちょっと考えると放物線ではないかと思われがちですが、放物線よりもずっときつく上昇する曲線で、代数曲線ではありません。懸垂線は双曲線関数

ｙ＝ａ／２（ｅx/a +ｅ-x/a ）

によって定義されます。

　懸垂線の問題を解いたのがベルヌーイであったのですが、変分法によって、懸垂線は与えられた２点を両端とする一定の長さの曲線をｘ軸を軸として回転させたときにできる曲面の表面積を最小にする曲線であることが導かれます。なお、体積が最大になる曲線は楕円関数になります。

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【２】伸開線と縮閉線

　曲線Ｌのまわりに巻かれた糸があり、この糸をぴんと張ったままほどくと糸の自由端によって曲線Ｍが描かれるとします。ＭをＬの伸開線（インボリュート）、ＬをＭの縮閉線（エボリュート）と呼びます。

　円の伸開線、すなわち円に巻きつけた糸の一端の軌跡は

ｘ＝ａ（ｃｏｓθ＋θｓｉｎθ），ｙ＝ａ（ｓｉｎθ−θｃｏｓθ）

と表され、歯車の歯形として工学に応用されています。また、放物線：ｙ＝ｘ^2 の縮閉線はｙ＝１／２＋３（ｘ／４）^2/3 です。逆に、半立方放物線：ｙ^2 ＝ａｘ^3 の伸開線は放物線になります。

　サイクロイド：ｘ＝ｒ（θ−ｓｉｎθ），ｙ＝ｒ（１−ｃｏｓθ）の縮閉線は

ｘ＝ａ（θ＋ｓｉｎθ），ｙ＝−ａ（１−ｃｏｓθ）

です。ここで、θ＝π＋ｔとおけば

ｘ＝ａ（ｔ−ｓｉｎｔ）＋ａπ，ｙ＝ａ（１−ｃｏｓｔ）−２ａ

ですから、もとのサイクロイドと合同なサイクロイドになることが示されます。

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【３】追跡線

　カテナリー（懸垂線）の伸開線はトラクトリックス（追跡線）と呼ばれています。

ｘ＝ａ（ｌｏｇｔａｎ（θ／２）＋ｃｏｓθ），ｙ＝ａｓｉｎθ

追跡線上の点と、その点での接線がｘ軸と交わる点との距離ａは常に一定です。この性質が追跡線というこの曲線の名前の由来で、ある長さのひもの先に石を結びつけて引っ張りながらｘ軸上を歩くと、石の通る軌跡が追跡線になります。

追跡線をｘ軸（漸近線）のまわりに回転すると、曲率が負で一定の曲面（擬球面）ができます。定数ａをその擬半径といいます。驚いたことに、この曲面上の幾何学はユークリッド幾何学の平行線の公理を「直線外の１点を通り、その直線に平行な直線は無数に存在する」によって取り替えて導かれる双曲的非ユークリッド幾何学と同じになります。双曲的非ユークリッド幾何学はボヤイとロバチェフスキーがそれぞれ独立に、しかもも同じ時期に発見したものです。

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