合同な正多面体（ｐ，ｑ）の各面が２つの（ｐ，ｑ）に属し，各辺がｒ個の（ｐ，ｑ）に属すとしよう．（その２）ではｐ，ｑ，ｒに関する１次不等式

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

によって，４次元正胞体は６種類あることを証明したが，２次不等式

　　ｐ−４／ｐ＋２ｑ＋ｒ−４／ｒ＜１２

　　ｐ−４／ｐ＜１２−２ｑ−ｒ＋４／ｒ

　　ｐ^2−（１２−２ｑ−ｒ＋４／ｒ）ｐ−４＜０

によっても正則胞体を定めることができるはずである．

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【１】１次不等式による証明

　立方体（４，３）の２面角は直角であるから，１本の辺のまわりに４個の立方体で隙間なく空間を充填します．しかし，（４，３，４）では無限の多面体になってしまいますから，超立方体（４，３，３）は有限胞体になります．すなわち，３次元空間内において立方体｛４，３｝が面を共有しあいながら各辺の周りに４個ずつ集まると３次元立方格子｛４，３，４｝＝無限充填図形となります．

　同様に，正４面体（３，３）の２面角は７１°より少し小さいので，１本の辺に３，４，５個の正４面体を置くことができます．→（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５）

　正８面体と正１２面体の２面角は，９０°と１２０°の間にあるので，１辺の周囲には３個の正多面体が置けます．→（３，４，３），（５，３，３）　正２０面体の２面角は１２０°より大きいので，このようなことはできません．

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

　結局，正多胞体の可能性としては（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５），（４，３，３），（３，４，３），（５，３，３）しかあり得ないことがわかります．

　これらを一般的な計量条件式として表すならば，正多面体（ｐ，ｑ）の２面角は，

　　２ｓｉｎ^(-1)（ｃｏｓ（π／ｑ）／ｓｉｎ（π／ｐ））

このような角ｒ個の和が２πより小さくなくてはならないことから，

　　ｃｏｓ（π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）

　　ｃｏｓ（π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）≦ｓｉｎ（π／ｐ）

すなわち，

　　ｓｉｎ（π／２−π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）

より，

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

同様に，

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

が導かれます．

　なお，３次元空間充填であるためには，等式

　　ｃｏｓ（π／ｑ）＝ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）

が成り立たなくてはならないので，３以上の整数解は立方体による空間充填（４，３，４）だけなのです．

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