オイラーの多面体定理を使うと

［１］２次元泡細胞の辺数の平均は≦６であり，すべての泡細胞が６辺以上の辺をもつことは不可能である

ことが証明される．

　（その１）では

（証）ｐを辺数の平均とする．ｑをひとつの頂点に集まる面数の平均とする．

　　ｐＦ＝２Ｅ

　　ｑＶ＝２Ｅ≧３Ｖ

　　２Ｅ≧３Ｖ→Ｅ≦３（Ｖ−Ｅ）

　無限に広がる平面の多角形充填を考える問題であるが，個の問題はトーラス面上の多角形充填と同値であるから，

　　Ｖ−Ｅ＝Ｆ

　したがって，

　　ｐＦ＝２Ｅ≦６（Ｖ−Ｅ）＝６Ｆ→ｐ≦６

としたが・・・

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　オイラーの多面体定理

　　Ｖ−Ｅ＝Ｆ−２

を使うと

　　ｐＦ＝２Ｅ≦６（Ｖ−Ｅ）＝６（Ｆ−２）

　　ｐ＝６（Ｆ−２）／Ｆ→ｐ≦６

となって，結果に変わりはない．

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