オイラーの定理が物理的作用と結びつくと，興味のある幾何学的効果が出現してきます．たとえば，２次元的にランダムに配列した石鹸の泡はいろいろなサイズの泡細胞からなっていますが，表面張力の要請から境界長を極小化しようとしますから，接合角度は１２０度となります（プラトー問題・最小シュタイナー木問題）．このことから，石鹸の泡は各頂点の次数がすべて３である平面図形と考えることができます．また，互いに１２０°の角度で交わる石鹸膜の交線は

　　ａｒｃｃｏｓ（−１／３）＝１０９．４７１°

で接触します．正四面体の頂点から中心に向かう３枚の膜は互いに１２０°の角度をなし，中心に集まる４本の線は１０９．４７１°（マラルディの角）をなすのです．

　このように，１２０°と１０９．４７１°は石鹸膜が接触するときの基本的な角度ですが，コクセターは１つの泡に接する泡の数を

　（２３＋√３１３）／３＝１３．５６

と計算し，そのアイデアを日記に記しています．

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　これは２次方程式

　　３ｘ^2−４６ｘ＋７２＝０

の解となっていることが見てとれますが，どのようにして導出されたものなのでしょうか？

（Ａ）４次元正多胞体はシュレーフリ記号｛ｐ，ｑ，ｒ｝・・・各頂点にｐ角形がｑ面集まる多面体が各辺にｒ個集まる・・・で表記されるとします．

　［参］コクセターの「最密充填と泡」に関する論文

　　Coxeter: Close packing and froth, Illinois Journal of Mathematics 2, 746-758 (1958)

によると，ｐ，ｑ，ｒに関する不等式

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

に有限群であるという条件が付加されると，さらに２次不等式

　　ｐ−４／ｐ＋２ｑ＋ｒ−４／ｒ＜１２

　　ｐ−４／ｐ＜１２−２ｑ−ｒ＋４／ｒ

　　ｐ^2−（１２−２ｑ−ｒ＋４／ｒ）ｐ−４＜０

が得られます．

　泡細胞の合胞体の場合，１個の頂点に３個の辺が集まり，１本の辺の周りに３個の泡細胞が合するというのが空間分割の局所条件ですから，ｑ＝ｒ＝３とおくと

　　ｐ^2−（１３／３）ｐ−４＜０

　　ｐ＜（１３＋√３１３）／６＝５．１１５３

これを

　　ｆ＝１２／（６−ｐ）

　　ｖ＝４ｐ／（６−ｐ）

　　ｅ＝６ｐ／（６−ｐ）

に代入すると

　　ｆ＝（２３＋√３１３）／３＝１３．５６４

　　ｖ＝２（１７＋√３１３）／３＝２３．１２８

　　ｅ＝１７＋√３１３＝３４．６９２

になるというわけです．

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