オイラーの多面体定理を使うと

［１］２次元泡細胞の辺数の平均は≦６であり，すべての泡細胞が６辺以上の辺をもつことは不可能である

ことが証明される．

（証）ｐを辺数の平均とする．ｑをひとつの頂点に集まる面数の平均とする．

　　ｐＦ＝２Ｅ

　　ｑＶ＝２Ｅ≧３Ｖ

　　２Ｅ≧３Ｖ→Ｅ≦３（Ｖ−Ｅ）

　無限に広がる平面の多角形充填を考える問題であるが，個の問題はトーラス面上の多角形充填と同値であるから，

　　Ｖ−Ｅ＝Ｆ

　したがって，

　　ｐＦ＝２Ｅ≦６（Ｖ−Ｅ）＝６Ｆ→ｐ≦６

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　３次元の場合の同様の性質は

［２］３次元泡細胞の面数の平均は≦１４であり，すべての泡細胞が１４面以上の面をもつことは不可能である

　２次元細胞の多くは６角形であり，３次元細胞の多くには１４面体であることはわかったが，４次元，５次元，・・・，ｎ次元での空間充填多面体の基本形はどうなるのだろう？　どのような形になるのかを知る人は（たとえいたとしても）非常に少ないであろう．

［１］ｎ次元空間充填では，各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる（ルベーグ）．

［２］ｎ＋１個のとき，空間充填の基本細胞の面数は最大２（２^n−１）個で，安定な空間充填となる（ミンコフスキー）．

　すなわち，平行多面体の最多面数は２次元では６角形，３次元では１４面体，４次元では３０胞体，５次元では６２房体となるのである．その証明はミンコフスキーやボロノイによってなされている．

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