［１］２次元泡細胞の辺数の平均は≦６であり，すべての泡細胞が６辺以上の辺をもつことは不可能である

［２］３次元泡細胞の面数の平均は≦１４であり，すべての泡細胞が１４面以上の面をもつことは不可能である

　したがって，２次元細胞の多くは６角形であり，３次元細胞の多くには１４面体であるのだが，このことは，オイラーの多面体定理を使って証明される．

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【１】頂点価数３の無限タイル貼り

　＜ｐ＞をひとつの面当たりの平均辺数，すなわち

　　＜ｐ＞＝ΣｐiＦi／Ｆ，＜ｐ＞Ｆ＝ΣｐiＦi

とする．

　無限のタイル貼りについて，

　　Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝２

　　３Ｖ＝２Ｅ，ΣｐiＦi＝＜ｐ＞Ｆ＝２Ｅ

が成り立つから，

　　（２／＜ｐ＞−１／３））Ｅ＝２

　Ｅ→∞において，＜ｐ＞＝６が得られる．

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【２】オイラーの多面体定理

　つぎに，３次元立体では必ず頂点に結合する辺の個数が３の頂点か３角形の面をもつことを示します．ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，

　i)Σｎｆn＝Σｎｖn

　ii)Σｆ2n+1は偶数

　iii)ｖ3＋ｆ3＞０

を順に示していきます．

（証）各辺は２個の頂点をもつから，Σｎｖn＝２Ｅ．また，各辺では２枚の面が交わるからΣｎｆn＝２Ｅ．

（証）ｉ）より，Σ（２ｎ＋１）ｆ2n+1＝（偶数），したがって，Σｆ2n+1も偶数．

（証）Ｅ＝Σｅn，Ｖ＝Σｖn，Ｆ＝Σｆn，Σｎｆn＝Σｎｖn＝２Ｅ．　　　　もしｖ3＝０，ｆ3＝０ならば，２Ｅ＝４ｖ4＋５ｖ5＋・・・≧４Ｖ．同様に，２Ｅ≧４Ｆ．これより，Ｖ−Ｅ＋Ｆ≦Ｅ／２＋Ｅ／２−Ｅ＝０．これはオイラーの多面体定理：Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝２に矛盾するから，ｖ3，ｆ3のうち，少なくとも１つは０でない．

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（Ｑ）五角形と六角形からなる多面体には五角形が常に１２個ある．

（Ａ）ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，

　　Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・

　　２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・

　　６Ｆ−２Ｅ≧１２

に代入すると

　　３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・≧１２

　地図のように２つの辺に囲まれた領域まで許すことにすると，この数え上げ公式は

　　４ｆ2＋３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・＝１２

となり，係数が１ずつ小さくなり，それが０となるｆ6は式中に現れない．

　このことからもｆ3，ｆ4，ｆ5の少なくとも１つは０でない→多面体には３角形か４角形面か５角形面が少なくとも１つなければならない，同様に，多面体の少なくとも１つの頂点は３次か４次か５次でなければならない→すべての頂点の次数が６以上となることは不可能であり，必ず次数が５以下の頂点をもつことが導き出される．これもオイラーが知っていた結果であるということである．

　ここで，

(1)ｆ2＝ｆ3＝ｆ4＝０だとすると，少なくとも１２個のｆ5がなければならないことになる（フラーレン）．

(2)多面体の面がすべてｆ5とｆ6であるならば，ｆ5＝１２（切頂二十面体など）

(3)多面体の面がすべてｆ4とｆ6であるならば，ｆ4＝６（切頂八面体など）

(4)多面体の面がすべてｆ4，ｆ6，ｆ8であるならば，ｆ4＝ｆ8＋６（大菱形立方八面体など）

(5)多面体の面がすべてｆ3とｆ6であるならば，ｆ3＝４（切頂四面体など）

　すなわち，球面を六角形と三角形で覆うとしたら，ちょうど４個の三角形が必要である．一般に，球面を六角形とｎ角形で覆うとしたら，ちょうどｋ＝１２／（６−ｎ）個のｎ角形が必要である．ｎ＝３，４，５のとき，

　　ｋ＝１２／（６−ｎ）＝４，６，１２

であるが，これは正多面体の面数と同じである．これらの結果は極めて重要で，四色定理の証明の中核をなしている．

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【３】頂点価数３の無限タイル貼り（その２）

　ｆnをｎ辺細胞の数とする．オイラーの多面体定理の応用で，

　　Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・

　　２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・

　　Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝１

から

　　Σｆn（６−ｎ）＝６

が導かれる．

　いくつかの構造欠損を除けば，６角形タイル貼りであるというのはこの式に従っているのである．

　なお，多面体の頂点の次数ｖnについては

　　Ｖ＝ｖ3＋ｖ4＋ｖ5＋・・・

　　２Ｅ＝３ｖ3＋４ｖ4＋５ｖ5＋・・・

　　Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝２

から，各面が三角形のの穴のない多面体では

　　Σｖn（６−ｎ）＝１２

を満たす．

　たとえば，頂点の次数列

　　ｖ＝｛４，４，４，４，４，４，６，６，６，６，６，６，６，６｝

では，

　　Σｖn（６−ｎ）＝６（６−４）＋８（６−６）＝１２

となる．

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【４】石鹸の泡細胞

　オイラーの定理が物理的作用と結びつくと，興味のある幾何学的効果が出現してきます．たとえば，２次元的にランダムに配列した石鹸の泡はいろいろなサイズの泡細胞からなっていますが，表面張力の要請から境界長を極小化しようとしますから，接合角度は１２０度となります（プラトー問題・最小シュタイナー木問題）．このことから，石鹸の泡は各頂点の次数がすべて３である平面図形と考えることができます．また，互いに１２０°の角度で交わる石鹸膜の交線は

　　ａｒｃｃｏｓ（−１／３）＝１０９．４７１°

で接触します．正四面体の頂点から中心に向かう３枚の膜は互いに１２０°の角度をなし，中心に集まる４本の線は１０９．４７１°（マラルディの角）をなすのです．

　このように，１２０°と１０９．４７１°は石鹸膜が接触するときの基本的な角度ですが，コクセターは１つの泡に接する泡の数を

　（２３＋√３１３）／３＝１３．５６

と計算し，そのアイデアを日記に記しています．

　これは２次方程式

　　３ｘ^2−４６ｘ＋７２＝０

の解となっていることが見てとれますが，どのようにして導出されたものなのでしょうか？

（Ａ）４次元正多胞体はシュレーフリ記号｛ｐ，ｑ，ｒ｝・・・各頂点にｐ角形がｑ面集まる多面体が各辺にｒ個集まる・・・で表記されるとします．

　［参］コクセターの「最密充填と泡」に関する論文

　　Coxeter: Close packing and froth, Illinois Journal of Mathematics 2, 746-758 (1958)

によると，ｐ，ｑ，ｒに関する不等式

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

に有限群であるという条件が付加されると，さらに２次不等式

　　ｐ−４／ｐ＋２ｑ＋ｒ−４／ｒ＜１２

　　ｐ−４／ｐ＜１２−２ｑ−ｒ＋４／ｒ

　　ｐ^2−（１２−２ｑ−ｒ＋４／ｒ）ｐ−４＜０

が得られます．

　泡細胞の合胞体の場合，１個の頂点に３個の辺が集まり，１本の辺の周りに３個の泡細胞が合するというのが空間分割の局所条件ですから，ｑ＝ｒ＝３とおくと

　　ｐ^2−（１３／３）ｐ−４＜０

　　ｐ＜（１３＋√３１３）／６＝５．１１５３

これを

　　ｆ＝１２／（６−ｐ）

　　ｖ＝４ｐ／（６−ｐ）

　　ｅ＝６ｐ／（６−ｐ）

に代入すると

　　ｆ＝（２３＋√３１３）／３＝１３．５６４

　　ｖ＝２（１７＋√３１３）／３＝２３．１２８

　　ｅ＝１７＋√３１３＝３４．６９２

になるというわけです．

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【５】石鹸の泡細胞（その２）

　多面体の面がすべてｆ4とｆ6であるならば，ｆ4＝６（切頂八面体など）である．ケルビンは石鹸の泡がみせる規則性は，１４面の切頂八面体による空間充填図形であるとした．面が曲面であれば泡が要求する１２０°と１０９．４７１°の条件を満たすことができるからだ．

　しかし，ケルビンの１４面体は石鹸の泡の中にはほとんどみられないことが，ウィリアムスによって指摘された．なお，各頂点に４つの辺が集まる空間分割では

　　＜Ｆ＞＝１２／（６−＜ｐ＞）

　　＜Ｆ＞＝１３．９６　→　＜ｐ＞＝５．１

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