【２】１つの泡に接する泡の数（その１）

［Ｑ］３次元では泡細胞は１４面体を中心とした分布をなし（面数の平均は＜１４），すべての泡細胞が１４面以上の面をもつことは不可能である．

［Ａ］３次元の空間が多面体により分割されるとき，３個の多面体の面が合して１本の稜線を形成し（内容的には同じことであるが）４本の稜線が１点に集まる．集合体から１個の多面体を分離して考えてみると，分割多面体の幾何学的性格で最も重要なものは，多面体のいずれの頂点にも３本の稜が集まるということである．そしてこのような多面体で空間を充填すれば，１個の頂点は４個の多面体によって共有され，そこには必ず４本の稜が集まる形になる．

　各分割多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖi，ｅi，ｆiとする．

　　ｖi−ｅi＋ｆi＝２

分割多面体では１個の頂点に３本の辺が集まり，また１本の辺は２個の頂点を結ぶことから，

　　２ｅi＝３ｖi

また，集合多面体の頂点，辺，面，胞の数をそれぞれＶ，Ｅ，Ｆ，Ｃとすると

　　Σ（ｖi−ｅi＋ｆi）＝２Ｃ

　空間分割の面の数などは一義的には決まらず，統計的にしか扱えないので，各多面体の平均頂点数，辺数，面数ｖ1，ｅ1，ｆ1とおくと

　　ｖ1Ｃ＝Σｖi，ｅ1Ｃ＝Σｅi，ｆ1Ｃ＝Σｆi

　　ｖ1Ｃ−ｅ1Ｃ＋ｆ1Ｃ＝２Ｃ

ｆ1≒１４が証明したい事柄である．なお，Ｖ≠Σｖi，Ｅ≠Σｅi，Ｆ≠Σｆiであることを注意しておく．

　平均的多面体の各面をｐ角形，各頂点にｑ面が会するとし，各辺にｒ個の多面体（ｐ，ｑ）が集まるものとする．境界多面体（ｐ，ｑ）の平均的な頂点数，辺数，面数は（ｖ1，ｅ1，ｆ1）となる．また，頂点に集まる辺の中点を結んでできる多面体はｑ角形が１つの辺にｒ面会した多面体（ｑ，ｒ）になっていて，その図形は（ｖ2，ｅ2，ｆ2）で表されるものとする．

　３次元の握手定理は多彩になって

　　ｆ1Ｃ＝２Ｆ，ｖ1Ｃ＝ｆ2Ｖ，ｖ2Ｖ＝２Ｅ，ｅ1Ｃ＝ｒＥ＝ｐＦ＝ｅ2Ｖ

であるが，仮定により

　　ｑ＝ｒ＝３，ｖ2＝４，ｅ2＝６，ｆ2＝４

であるから

　　ｆ1Ｃ＝２Ｆ，ｖ1Ｃ＝４Ｖ，４Ｖ＝２Ｅ，ｅ1Ｃ＝３Ｅ＝ｐＦ＝６Ｖ

　これを

　　ｖ1Ｃ−ｅ1Ｃ＋ｆ1Ｃ＝２Ｃ

に代入すると

　　（２−ｐ／３）Ｆ＝２Ｃ

　　ｆ1＝２Ｆ／Ｃ＝１２／（６−ｐ）

　　ｖ1＝４Ｖ／Ｃ＝４／（ｐ／６−１）

　　ｅ1＝６Ｖ／Ｃ＝６／（ｐ／６−１）

　ここで位相幾何学的証明でなく，計量的証明が必要になるのであるが，３次元空間充填であるためには，等式

　　ｃｏｓ（π／ｑ）＝ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）

が成り立たなくてはならない．ｑ＝ｒ＝３を代入すると

　　ｓｉｎ（π／ｐ）＝ｃｏｔ（π／３）＝√（１／３）

　　ｐ＝５．１０４４・・・

　　ｆ1＝１３．３９８・・・＜１４

　　ｖ1＝２２．７９６・・・

となる．

　なお，

　　Ｖ−Ｅ＋Ｆ−Ｃ＝０

を用いても，

　　ｆ1＝２Ｆ／Ｃ＝１２／（６−ｐ）

を導き出すことは可能である．厳密にいうと

　　Ｖ−Ｅ＋Ｆ−Ｃ＝１

であるが，何千という小さな泡の集合体を想定して，非常に多くの多面体を統計的に扱うので右辺は０としてかまわない．しかし，Ｖ−Ｅ＋Ｆ−Ｃ＝１を用いればもっとｆ1≒１４に近づくであろう．

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