【４】マラルディの角

　［３］で２つの泡がくっついたとき，その境界も球面になり，この３つの球面の接合角度は１２０度となることを説明しましたが，石鹸膜の問題は表面積を最小にする問題ですから適切な平面による断面を考えることで［１］の問題の答えが適用できるといわけです．

　また，互いに１２０°の角度で交わる石鹸膜の交線は

　　ａｒｃｃｏｓ（−１／３）＝１０９．４７１°

で接触します．正四面体の頂点から中心に向かう３枚の膜は互いに１２０°の角度をなし，中心に集まる４本の線は１０９．４７１°（マラルディの角）をなすのです．

　１２０°と１０９．４７１°は石鹸膜が接触するときの基本的な角度ですが，ここで泡が内角１０９．４７１°の正多角形からなる正多面体とみなせば，面は

　ｐ~＝３６０／１０９．４７１＝５．１０４

角形となります．

　また，３ｖ＝ｐｆ，２ｅ＝ｐｆを，オイラーの多面体定理に代入すると

　　ｆ＝１３．３９，ｖ＝２２．７８，ｅ＝３４．１８

すなわち，泡の平均の姿は２２．７８個の頂点，３４．１８本の辺，１３．３９枚の面からなる面が５．１０４角形の立体となることがわかります．平均的な泡細胞は正１２面体にやや似たものになるというわけです．

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