たとえば、　半径ｒの４次元球の体積は

　　Ｖ＝π^2／Γ（３）・ｒ^4＝π^2／２・ｒ^4＝２^4

したがって，

　　ｒ＝２（２／π^2）^1/4＞１

はミンコフスキーの定理の短い証明を与えてくれるだろうか？

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　半径ｒの２次元球の体積は

　　Ｖ＝πｒ^2＝２^2→ｒ＝２（１／π）^1/2＝１．１２８３８＞１

　半径ｒの３次元球の体積は

　　Ｖ＝４πｒ^3／３＝２^3→ｒ＝２（３／４π）^1/3＝１．２４０７＞１

　半径ｒの４次元球の体積は

　　Ｖ＝π^2／２・ｒ^4＝２^4→ｒ＝２（２／π^2）^1/4＝１．３４１８８＞１

　半径ｒの５次元球の体積は

　　Ｖ＝４π^2ｒ^5／１５＝２^5→ｒ＝２（１５／４π^2）^1/5=１．１９４４９＞１

となる．

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しかし、これはずっとつづくのであろうか？

　半径ｒの14次元球の体積は

Ｖ＝π^7ｒ^14／７！＝２^4→ｒ＝２（7!／π^14）^1/5=2(1/0.59926)^1/14＞１

したがって、ｎが小さいときに成り立てば成り立つのである

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半径rに1次元球の体積は2であるから

2r=2,r=1

これがｒの下限を与える次元であると考えられます。一般に

π^(n/2)/Γ(n/2+1)・r^n=2^n=4^(n/2)

r^n=(π/4)^(n/2)・Γ(n/2+1)

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