【１】ゾーン多面体

　平行多角形のみで構成される多面体をゾーン多面体といいます．ここでは，合同な菱形だけでできている菱形多面体を考えます．

　菱形のすべての稜は２方向，菱形六面体のすべての稜は３方向，菱形十二面体では４方向，菱形三十面体では６方向を向いているのですが，菱形二十面体では５方向，菱形十二面体（第２種）では４方向を向いています．一般にすべての稜がｎ方向を向くとき，面数はｆ＝ｎ（ｎ−１）となります．

　ｎ方向ベクトル星で決まるゾーン多角形はｎ（ｎ−１）／２個の平行四辺形に分刈るされるのですが，これは投影されるゾーン多面体の手前の面となっていて，裏側に隠れた部分を加えると面数はｆ＝ｎ（ｎ−１）となるというわけです．

　ゾーン多面体は無数にあるのですが，そのうち，ゾーン面は２枚ずつ増やせるので２（ｎ−１）面，天井面と床面はそれぞれ（ｎ−１）（ｎ−２）／２面で

　　２（ｎ−１）＋２（ｎ−１）（ｎ−２）／２＝ｎ（ｎ−１）

という構成になっています．

　　ｆ＝ｎ（ｎ−１）＝２，６，１２，２０，３０，４２，５６，・・・

　　ｅ＝２ｎ（ｎ−１）

　　ｖ＝ｎ（ｎ−１）＋２

　　ｎ　　　ゾーン　　　天井床　　　　ｆ　　　　ｅ　　　　ｖ

　　３　　　　　４　　　　　２　　　　６　　　１２　　　　８

　　４　　　　　６　　　　　６　　　１２　　　２４　　　１４

　　５　　　　　８　　　　１２　　　２０　　　４０　　　２２

　　６　　　　１０　　　　２０　　　３０　　　６０　　　３２

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【２】黄金菱形多面体

　黄金菱形平行６面体には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，細めで尖ったほうがacute（扁長菱面体），太めで平たいほうがobtuse（扁平菱面体）と呼ばれていますが，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体（第２種），５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．このうち，菱形二十面体と菱形三十面体は５重の対称軸をもっています．

　これらはコクセターにより，Ａ6（acute），Ｏ6（obtuse），Ｂ12（Bilinsky），Ｆ20（Fedrov），Ｋ30（Kepler）と名づけられていて，それぞれ３次元から６次元までの立方体の投影の外殻になっています．すなわち，黄金平行多面体は５種類あり，黄金菱形をある方向に平行移動させたものがＡ6，Ｏ6であり，それをさらに平行移動させるとＢ12が，続いてＦ20が，最後にＫ30が生まれます．

　したがって，Ａ6とＯ6は３次元の，Ｂ12は４次元の，Ｆ20は５次元の，Ｋ30は６次元の立方体とそれぞれ同等になります．また，Ｂ12の中には２つずつのＡ6とＯ6が，Ｆ20の中にはひとつのＢ12と３つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＦ20の中には５つずつのＡ6とＯ6が），Ｋ30の中にはひとつのＦ20と５つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＫ30の中には１０個ずつのＡ6とＯ6が）それぞれ入っていることになります．

　菱形三十面体からあるゾーン（菱形の連なった帯）を抜き取って押しつぶすと菱形二十面体，菱形二十面体からあるゾーンを抜くと菱形十二面体（第２種）になるので，これらは各面の対角線の長さの比が黄金比の菱形からなる一連の多面体と考えることができます．

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【３】ミンコフスキー和

　ミンコフスキー和の計算結果についてまとめておきたい．辺の長さを１に規格化した体積を掲げる．

　菱形３０面体：　４τ｛（５＋√５）／２｝^1/2

　菱形２０面体：　２τ｛（５＋√５）／２｝^1/2

　菱形１２面体（第２種）：　４τ／５｛（５＋√５）／２｝^1/2

　扁長菱形６面体：　２／５｛（５＋√５）／２｝^1/2

　扁平菱形６面体：　２／（５τ）・｛（５＋√５）／２｝^1/2

　以下，前節の言明「黄金菱形平行６面体には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，細めで尖ったほうがacute（扁長菱面体），太めで平たいほうがobtuse（扁平菱面体）と呼ばれていますが，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体（第２種），５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．」について，体積計算して正しいことを確認しておきたい．

　｛（５＋√５）／２｝^1/2を省略して書くと，

　　Ａ6＋Ｏ6＝２／５（１＋１／τ）＝２τ／５

　　２（Ａ6＋Ｏ6）＝４τ／５＝Ｂ12

　　５（Ａ6＋Ｏ6）＝２τ＝Ｆ20

　　１０（Ａ6＋Ｏ6）＝４τ＝Ｋ30

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