フェドロフの平行多面体とは平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，平行辺（したがって平行四辺形面，平行六辺形面に限られる），平行面から構成されている多面体である．フェドロフの平行多面体には立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体の５種類しかないことが証明されている（１８８５年）．

　平行多面体による空間充填形はもっと高い次元の立方格子の３次元への射影になっている．平行多面体のうち１４面体は切頂８面体だけであるが，切頂八面体には６組の平行な辺があり，６次元立方体と相同と考えることができる．切頂８面体（ｆ＝１４，ｄ＝６）の辺を点に縮めることによって，長菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝５）→菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝４），６角柱（ｆ＝８，ｄ＝４）→立方体（ｆ＝６，ｄ＝３）ができる．すなわち，６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものとなっていて，空間充填図形の基本形は切頂８面体と考えることができる．

　平行多面体５種は６次元立方体の投影図から適当に線を間引いくことによって得ることができるのであるが，この方法は菱形ｎ（ｎ−１）面体の一部の辺を平面上に押しつぶすことと等価である．

　また，特殊な作り方も可能である．

［１］立方体に四角柱や六角柱を次々に挟み込むことによって，５つの平行多面体すべてが得られる．

［２］平行六面体に頂点を付け加えたり，それを動かすことによって六角柱以外の平行多面体が得られる．

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【２】ゾーン多面体

　フェドロフの多面体はすべてゾーン多面体である．ｎ方向ベクトル星でできているゾーン多面体は，すべての面を平行四辺形で置き換えた場合，

　　ｆ＝ｎ（ｎ−１）

の面をもつ．

　また，

　　（ｎ，３）＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６

個の平行六面体に分解される．その分割方法には

　　Ｎ＝２^(n-i)（ｎ，ｉ）／（ｎ，３）

　　ｉは空間の次元数で，ゾーン多面体の場合は３

通りある．

　３方向のベクトルが同一平面上にあるとき，平行六面体は平行六角形に退化する．

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【３】ミンコフスキーの体積公式

　ｎ次元置換多面体は（ｎ＋１，２）次元の立方体のアフィン射影であるから，ｍ＝ｎ（ｎ＋１）／２組の平行なｎ次元ベクトル

　　Ｖ＝｛ｖ1，・・・，ｖm｝

をもつ．ｖiは辺に沿ったベクトルである．したがって，この体積は線分のミンコフスキー和

　　ｖｏｌ（Ｖ）＝Σ｜ｄｅｔ（ｖi1，・・・，ｖin）｜

で与えられる．すなわち，（ｍ，ｎ）個の項をもつこの公式は，複体を平行体（parallelepiped）に分解してそのミンコフスキー和ととることを意味している．なお，このベクトル配置は１次従属になることもあり，その場合，ある項はゼロになるから（ｍ，ｎ）個以下の平行体に分解できることになる．

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