今回のコラムで紹介するドローネー（Delaunay）はロシア人だが，論文をすべてフランス語で発表したので，フランス人と誤解される場合が多い．これは彼の先祖がナポレオンとともにロシアに行きそこに留まったことによる．

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【１】フェドロフの平行多面体とミンコフスキーの定理

　フェドロフは平行多面体には立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体の５種類しかないことを証明した．さらに，ミンコフスキーはｎ次元ユークリッド空間で格子タイリングできる凸多面体は最大２（２^n−１）個の（ｎ−１）次元面をもつことを証明した．

　長い間，２（２^n−１）がｎ次元空間充填多面体の面数の上限であると信じられてきた．すなわち，３次元空間充填多面体の面数の上限は１４面であり，１４面以上の面をもつことは不可能であると・・・．しかし，平行移動のほかに回転や鏡映操作も許せば，さらに多くの多面体が空間充填可能となる．

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【２】ドローネーの定理

　ドローネーはミンコフスキーの定理を一般化し，最大

　　ｆ＝２^n（１＋ｔ）−２

個の面をもつことを示した．ｔは互いに平行移動で重なる分割におけるクラスの最小数である．

　ｎ＝３に対しては互いに平行移動で重なる分割におけるクラスの最大数はｔ＝４８，したがって，空間充填多面体の面の数はｆ≦３９０を意味するが，この見積もりは明らかに大きすぎると思われる．

　エンゲルは３８面をもつタイルをいくつか作ったが，

　　２^3（１＋４）−２＝３８

であるからｔ≧４を意味している．ちなみに現在は４≦ｆ≦３８であるすべてのｆに対し，空間充填可能な凸ｆ面体が存在することが判明している．

　たとえば，ｔ＝５ならばｆ＝４６となるが，

［Ｑ１］３８より大きい面数のタイルは存在するだろうか？

［Ｑ２］面数に上限はあるだろうか？

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【３】おまけ

　ドローネーの名を冠する数学用語としては，ドローネー分割があげられる．ボロノイ分割の双対がドローネー分割で，２次元ドローネー分割は三角形分割，３次元ドローネー分割は四面体分割になる．また，平均曲率一定の回転面は「ドローネー曲面」と呼ばれている．

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　日本の国土をＡ，半径ｒの円板をＢとして，陸地の各点にこの円板を貼り付けることによって定まる領域がＡ＋Ｂである．すなわち，陸地からの距離がｒ以下の海の部分を陸地に加えた領域がミンコフスキー和Ａ＋Ｂである．今回のコラムでは，Ａ，Ｂ，Ａ＋Ｂの３つの面積の関係を述べたブルン・ミンコフスキーの不等式を紹介する．

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【１】ブルン・ミンコフスキーの不等式

　冒頭では平面での場合を述べたが，一般のｎ次元図形に対しても不等式

　　｜Ａ＋Ｂ｜^1/n≧｜Ａ｜^1/n＋｜Ｂ｜^1/n

が成立する（平面図形の場合はｎ＝２）．等号成立はＡとＢは相似の位置にあるか，またはＡはＢの平行移動であるときである．

１８８７年にブルンがn=3の場合を示した。世紀の変わり目にミンコフスキーがすべてのｎに対して示した。凸タイの幾何学の根幹をなしている

　また，２つの凸図形Ｋ0，Ｋ1が与えられたとき，Ｋ0からＫ1への連続変形

　　Ｋt＝（１−ｔ）Ｋ0＋ｔＫ1　　　（０≦ｔ≦１）

においては

　　｜Ｋt｜^1/n≧（１−ｔ）｜Ｋ0｜^1/n＋ｔ｜Ｋ1｜^1/n

が成り立つ．

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