日本の国土をＡ，半径ｒの円板をＢとして，陸地の各点にこの円板を貼り付けることによって定まる領域がＡ＋Ｂである．すなわち，陸地からの距離がｒ以下の海の部分を陸地に加えた領域がミンコフスキー和Ａ＋Ｂである．今回のコラムでは，Ａ，Ｂ，Ａ＋Ｂの３つの面積の関係を述べたブルン・ミンコフスキーの不等式を紹介する．

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【１】ブルン・ミンコフスキーの不等式

　冒頭では平面での場合を述べたが，一般のｎ次元図形に対しても不等式

　　｜Ａ＋Ｂ｜^1/n≧｜Ａ｜^1/n＋｜Ｂ｜^1/n

が成立する（平面図形の場合はｎ＝２）．等号成立はＡとＢは相似の位置にあるか，またはＡはＢの平行移動であるときである．

１８８７年にブルンがn=3の場合を示した。世紀の変わり目にミンコフスキーがすべてのｎに対して示した。凸タイの幾何学の根幹をなしている

　また，２つの凸図形Ｋ0，Ｋ1が与えられたとき，Ｋ0からＫ1への連続変形

　　Ｋt＝（１−ｔ）Ｋ0＋ｔＫ1　　　（０≦ｔ≦１）

においては

　　｜Ｋt｜^1/n≧（１−ｔ）｜Ｋ0｜^1/n＋ｔ｜Ｋ1｜^1/n

が成り立つ．

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