シェルピンスキーの三角形はフラクタル図形で，正三角形の各辺の中点をつないで，４つの小正三角形に分割し，真ん中を取り去り，残った３つの正三角形を同じように４つに分割して各々真ん中の三角形を取り去って，また分割していく動作を無限に繰り返してできる図形である．

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【１】シェルピンスキーの三角形

　ます単純な三角形を描き，次にもとの三角形の半分の大きさの三角形を３つ作って，もとの三角形のそれぞれの隅におく（三角形を４つの合同な三角形に分割して中央の三角形を取り除く）．これを無限回繰り返す．

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　マス目の大きさを半分にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は３倍になるから，そのフラクタル次元は

　　２^d＝３→ｄ＝ｌｏｇ３／ｌｏｇ２＝１．５８５

となる．

　このようにして，シェルピンスキーの三角形のフラクタル次元は

　　ｌｏｇ３／ｌｏｇ２＝１．５８５

であることがわかる．

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【２】１．２６次元の雪（コッホ曲線）

　フラクタルが登場するまで，図形の次元は１か２か３に限られていた．幾何学では分数次元を想像することも可能であるが，中でも有名なのは「コッホ雪片」である．コッホ雪片ではまず１辺の長さ１の正三角形を描く．それぞれの辺を３等分し，真ん中の部分を取り除く．そこに同じ長さの辺でできたＶ字型を置く．この操作を何回も繰り返すと，雪の結晶のような形になる．そのフラクタル次元は？

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　コッホ曲線では１回の操作ごとに全体の長さは１／３ずつ増えるので，ｎ回後の長さは（４／３）^nである．この曲線は１次元の線ではない．また，同時に２次元でもない．そこで，このような曲線はフラクタル次元をもつといわれ，その次元は

　　ｌｏｇ４／ｌｏｇ３＝１．２６

で，線の次元よりは上だが，面の次元よりは下になる．

　また，無限に繰り返した結果できるフラクタル図形の面積は不変で，無限の周囲が有限の面積を囲んでいることになる．

　方眼紙を１枚もってきてこの図形にかぶせ，この図形を覆っているマス目の個数を数える．つぎにマス目の大きさを半分にした方眼紙で同じことを繰り返す．もとの図形が線であればマス目の数は２＝２^1倍に，面であればマス目の数は４＝２^2倍に増える．

　コッホ曲線では，マス目の大きさを１／３にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は４倍になるから，

　　３^d＝４→ｄ＝ｌｏｇ４／ｌｏｇ３＝１．２６

マス目の大きさを半分にした方眼紙であれば，２^1.26倍に増えるのである．

　周長は１回の操作ごとに１／３ずつ増えるので，ｎ回後の長さは（４／３）^n→∞である．また，無限に繰り返した結果できるフラクタル図形の面積は

　　Ｓ＝√３／４＋√３／４・（１／３）^2・３＋√３／４・（１／９）^2・３・４＋√３／４・（１／２７）^2・３・４・４＋・・・＝√３／４＋√３／１２／（１−４／９）＝√３／４＋３√３／２０＝２√３／５である．つまり，無限の周囲が有限の面積を囲んでいることになる．

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