【２】シェルピンスキーのカーペット

カントール集合はその直積を考えれば直ちに高次元に拡張されます。

最初に１辺がaの正方形を描き、各辺を３等分して１辺がa/3の正方形に９分割して、真ん中の正方形をくりぬきます。

その後、残りの8個の正方形に同じ操作を無限に繰り返します。

ｎ回目でくりぬかれる部分の面積はA1=(a/3)^2,A2=(a/3)^2x8/9,・・・,A2=(a/3)^2x(8/9)^n

それらの総和はΣAn=a^2

したがって、

[1]ルベーグ測度０

[2]ハウスドルフ次元log3(8)=0.18928

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