２つのシャボン玉の接合問題

シャボン玉の外にシャボン玉が接合するので、外側の体積を一定とし、、外側の表面積を最小とする問題を考える

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原点O(0,0)を中心とする単位球と、半径r,中心C(c,0)の球が交わる

2円で考えても同じなので、点O(0,0)を中心とする単位円と、半径r,中心C(c,0)の円が交わる

交点をP(a,b),Q(a,-b),θ=∠OCP,φ=∠COPとおくと

PQ/2=rsinθ=sinφ

交わり部分の面積S=2πr-2rθ

交わり部分の体積V=πr^2-φ+cosφsinφ-(sinφ/sinθ)^2(θ-cosθsinθ)

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ここでラグランジュ未定乗数法を用いる

f(θ,φ)=S-λ(V0-V) 　　　　

∂f/∂φ＝0

∂f/∂θ＝0

∂f/∂λ＝0

したがって、この場合も

sinθ+λsinφ=0,cos(φ+θ)

が必要条件となり、φ+θ=π/2・・・２円が直交するとき表面積が最小となることが確認できる

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