コラム「等周不等式」では、シャボン玉はどうして丸いのかを扱った。　シャボン玉は表面張力が最小となる形状になるはずであるが、表面張力の総和は表面積に比例する。そのため、シャボン玉は表面積を最小にしようとして球体になるわけである。ここでは２つのシャボン玉がくっついた場合について考える

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原点O(0,0)を中心とする単位球と、半径r,中心C(c,0)の球が交わるとき、交わる部分の体積が一定のとき、交わり部分の面積を最小とする問題となる

2円で考えても同じなので、点O(0,0)を中心とする単位円と、半径r,中心C(c,0)の円が交わる

交点をP(a,b),Q(a,-b),θ=∠OCP,φ=∠COPとおくと

PQ/2=rsinθ=sinφ

交わり部分の面積S=2rθ=2θsinφ/sinθ

交わり部分の体積V=φ-cosφsinφ+r^2(θ-cosθsinθ)=φ-cosφsinφ+(sinφ/sinθ)^2(θ-cosθsinθ)

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ここでラグランジュ未定乗数法を用いる

f(θ,φ)=S-λ(V0-V) 　　　　

∂f/∂φ＝2/(sinθ)^2{θcosφ(sinθ+λsinφ)-λsinφsinθcos(φ+θ)}=0

∂f/∂θ＝2/(sinθ)^3(sinθ-θcosθ)(sinθ+λsinφ)=0

∂f/∂λ＝V0-V=0

したがって、

sinθ+λsinφ=0,cos(φ+θ)

が必要条件となり、φ+θ=π/2・・・２円が直交するとき表面積が最小となることが確認できる

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