ｄ次元凸多面体のｆベクトルについて

[1]d=2の場合、f0≧3，f1≧3

[2]d=3の場合、f2≦2f0-4，f0≦2f2-4f1

を満たせばよい

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[3]d=4の場合は未解決である

たとえば、f1+f2≦6(f0+f3)などが存在するが、本質的な条件が欠けている

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単体的な場合は具体的に記述できる

[1]バーネットの下限定理(1971)

ファセット数が最小のものは頂点数ｎのものからn-d-1回の星状細分を繰り返して得られるstacked polytopeで、

そのファセット数は(d+1)+(d-1)(n-d-1)

[2]マクマレンの上限定理(1970)

ファセット数が最大のものは「d/2」個の頂点がfaceをneighborly polytopeで、

そのファセット数は(n-「d/2」,[d/2])+(n-1-「(d-1)/2」,[(d-1)/2])

巡回多面体は位数dのモーメント曲線γ(t)=(t,t^2,・・・,t^d)上にｎ個の異なる点をとったその凸包Conv{γ(t1),γ(t2),・・・,γ(tn)}であたえられる。

偶数次元の場合、γ(t)=(cost,sint,cos2t,sin2t,・・・cos(dt/2),sin(dt/2))であたえられる。

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これら２つの間の完全な特徴づけが「ｇ定理」である。

h0=1,h1=f1-d,・・・h0+h1+・・・+hd=fd-1

単体的凸多面体に対する

[1]デーン・サマーヴィル関係式はhi=hd-1, i=0-d

[2]上限予想の不等式はhi＜=(v-d+i-1,i), i=0-[d/2]

[3]下限予想の不等式はh1＜=hi, i=2-(d-1)

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一般次元における単体的凸多面体ぼｆベクトルを決定するという問題は、マクマレンがｈベクトルを駆使して提唱し、マクマレンのｇ予想と呼ばれている。

正の整数fとiが与えられたとき、

f=(ni,i)+(ni-1,i-1)+・・・+(nj,j), ni＞ni-1＞・・・＞nj＞=1

なる表示が一意に存在する。このとき

f(i)=(ni+1,i+1)+(ni-1+1,i)+・・・+(nj+1,j+1), 0(i)=0

と定義する。

たとえば、14=(5,3)+(3,2)+(1,1),14(3)=(6,4)+(4,3)+(2,2)

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【１】マクマレンのｇ予想

hベクトルが与えられたとき、次元ｄの単体的凸多面体が存在するための必要十分条件は

[1]h0=1

[2]hi=hd-i,i=0-d

[3]h0＜=h1＜=h2＜=・・・＜=h[d/2]

[4]hi+1-hi=(hi-hi-1)(i),i=1-[d/2]

が成立することである。

[4]gi=(gi-1)(i),i=1-[d/2]

この予想は肯定的に証明されている。

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【２】マコーレーの定理

マコーレーはM列を完全に決定することに成功した。

(h0,h1,・・・,hs)がM列となるための必要十分条件は

[1]h0=1

[2]h＜=hi(i),i=0-(s-1)

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