ｆベクトルとｈベクトルは，母関数を使えば大変見通しよく説明することができる．

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　多面体Ｐの母関数を

　　Ｆ（ｔ）＝Σ(0,n)ｆj-1・ｔ^j

で定義する．ｆ-1＝１

　このとき，

　　Ｈ（ｔ）＝（１−ｔ）^nＦ（ｔ／（１−ｔ））＝Σ(0,n)ｆj-1・ｔ^j（１−ｔ）^(n-j)

はｎ次の多項式であり，

　　Ｈ（ｔ）＝Σ(0,n)ｈp・ｔ^p

と書くことができる．

　逆に，

　　Ｆ（ｔ）＝（１＋ｔ）^nＨ（ｔ／（１＋ｔ））＝＝Σ(0,n)ｆj-1・ｔ^j

であり，

　　ｈp＝Σ(0,p)（−１）^(p-j)（ｎ−ｊ，ｎ−ｐ）ｆjｰ1，０≦ｐ≦ｎ

　　ｆj-1＝Σ(0,j)（ｎ−ｐ，ｎ−ｊ）ｈp，０≦ｊ≦ｎ

となる．

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　したがって，ｆｊを与えることとｈpを与えることは同値である．

　ｎ次単体的多面体に対しては，デーン・サマービル関係式

　　（−１）^(n-1)ｆk＝Σ(k,n-1)（−１）^j（ｊ＋１，ｋ＋１）ｆj

が成り立つことは，

　　Ｆ（ｔ−１）＝（−１）^nＦ（−ｔ）

　　Ｈ（ｔ）＝ｔ^nＨ（１／ｔ）

が成立すること，あるいは，

　　ｈp＝ｈn-p

が成り立つことと同値である．

　　Ｆ（ｔ／（１−ｔ））＝Ｈ（ｔ）／（１−ｔ）^n＝Σ(0,n)ｆj-1・ｔ^j／（１−ｔ）^j

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h0=1,h1=f1-d,・・・h0+h1+・・・+hd=fd-1

単体的凸多面体に対する

[1]デーン・サマーヴィル関係式はhi=hd-1, i=0-d

[2]上限予想の不等式はhi＜=(v-d+i-1,i), i=0-[d/2]

[3]下限予想の不等式はh1＜=hi, i=2-(d-1)

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一般次元における単体的凸多面体ぼｆベクトルを決定するという問題は、マクマレンがｈベクトルを駆使して提唱し、マクマレンのｇ予想と呼ばれている。

正の整数fとiが与えられたとき、

f=(ni,i)+(ni-1,i-1)+・・・+(nj,j), ni＞ni-1＞・・・＞nj＞=1

なる表示が一意に存在する。このとき

f(i)=(ni+1,i+1)+(ni-1+1,i)+・・・+(nj+1,j+1), 0(i)=0

と定義する。

たとえば、14=(5,3)+(3,2)+(1,1),14(3)=(6,4)+(4,3)+(2,2)

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【１】マクマレンのｇ予想

hベクトルが与えられたとき、次元ｄの単体的凸多面体が存在するための必要十分条件は

[1]h0=1

[2]hi=hd-i,i=0-d

[3]h0＜=h1＜=h2＜=・・・＜=h[d/2]

[4]hi+1-hi=(hi-hi-1)(i),i=1-[d/2]

が成立することである。

[4]gi=(gi-1)(i),i=1-[d/2]

この予想は肯定的に証明されている。

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