ｄ次元凸多面体のｆベクトルについて

[1]d=2の場合、f0≧3，f1≧3

[2]d=3の場合、f2≦2f0-4，f0≦2f2-4f1

を満たせばよい

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[3]d=4の場合は未解決である

たとえば、f1+f2≦6(f0+f3)などが存在するが、本質的な条件が欠けている

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単体的な場合は具体的に記述できる

[1]バーネットの下限定理(1971)

ファセット数が最小のものは頂点数ｎのものからn-d-1回の星状細分を繰り返して得られるstacked polytopeで、

そのファセット数は(d+1)+(d-1)(n-d-1)

[2]マクマレンの上限定理(1970)

ファセット数が最大のものは「d/2」個の頂点がfaceをneighborly polytopeで、

そのファセット数は(n-「d/2」,[d/2])+(n-1-「(d-1)/2」,[(d-1)/2])

巡回多面体は位数dのモーメント曲線γ(t)=(t,t^2,・・・,t^d)上にｎ個の異なる点をとったその凸包Conv{γ(t1),γ(t2),・・・,γ(tn)}であたえられる。

偶数次元の場合、γ(t)=(cost,sint,cos2t,sin2t,・・・cos(dt/2),sin(dt/2))であたえられる。

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